Teorema de Siegel
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Fecha
2010Autor(es)
Espinoza Choqquepura, Claudio Vicente
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Mostrar el registro completo del ítemResumen
Expone una prueba del teorema de Siegel y se muestra algunas aplicaciones.
El problema de la linealización de ecuaciones diferenciales ordinarias complejas
es importante en el estudio de los sistemas din´amicos complejos.
Dicho problema, el de linealizar un campo vectorial Z ∈ X(U) que tiene al
origen como singularidad aislada es equivalente a encontrar un bihomolorfismo
H definido en alguna vecindad del origen que cumpla
H′(Z) · Z(z) = A(H(z)) ,
donde A = Z′(0) es la parte lineal del campo Z.
A finales del siglo XIX Poincaré resolvió este problema bajo ciertas
condiciones sobre los autovalores de la parte lineal del campo que se quiere
linealizar. Sin embargo, dicha condición no era la ´optima pues existen campos
que son linealizables que no cumplen la condición de Poincaré. Décadas
más tarde Siegel introdujo una condición la cual abarca a la de Poincaré
y además como se muestra en el trabajo es una condición buena
pues el conjunto de matrices que no cumplen dicha condición tiene medida
nula.
En el primer capitulo, se muestra los preliminares para seguir este trabajo
de tal manera que el contenido del mismo sea autocontenido, sin embargo
conceptos básicos de análisis complejo y algebra lineal se darán por conocidos.
En el segundo se prueba que la no resonancia de la parte lineal es
suficiente para que la linealización sea posible, pero solo de manera formal.
En el tercer capítulo se da la prueba del teorema de Siegel dada
por Arnold, la cual utiliza técnicas de análisis funcional. Por ´ultimo se
muestra algunas aplicaciones de este teorema y se menciona la condición
de Bruno que supera a la de Siegel por lo que estos resultados se pueden
seguir ampliando.
Palabras clave
Coleccion(es)
- Tesis EP Matemática [139]