Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Universidad del Perú. Decana de América
Dirección General de Estudios de Posgrado
Facultad de Ciencias Matemáticas
Unidad de Posgrado
Bootstrap en los modelos de elección discreta: una
aplicación en el método de valoración contingente
TESIS
Para optar el Grado Académico de Magíster en Estadística
Matemática
AUTOR
Luis Manuel LEDESMA GOYZUETA
ASESOR
Antonio BRAVO QUIROZ
Lima, Perú
2016
Reconocimiento - No Comercial - Compartir Igual - Sin restricciones adicionales
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
Usted puede distribuir, remezclar, retocar, y crear a partir del documento original de modo no
comercial, siempre y cuando se dé crédito al autor del documento y se licencien las nuevas
creaciones bajo las mismas condiciones. No se permite aplicar términos legales o medidas
tecnológicas que restrinjan legalmente a otros a hacer cualquier cosa que permita esta licencia.
Referencia bibliográfica
Ledesma, L. (2016). Bootstrap en los modelos de elección discreta: una aplicación
en el método de valoración contingente. [Tesis de maestría, Universidad Nacional
Mayor de San Marcos, Facultad de Ciencias Matemáticas, Unidad de Posgrado].
Repositorio institucional Cybertesis UNMSM.
“BOOTSTRAP EN LOS MODELOS DE ELECCIÓN DISCRETA: UNA
APLICACIÓN EN EL MÉTODO DE VALORACIÓN CONTINGENTE”
LUIS MANUEL LEDESMA GOYZUETA
Tesis presentada a consideración del jurado examinador nombrado por la Unidad de Postgrado de
la Facultad de Ciencias Matemáticas, de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, como
parte de los requisitos para obtener el grado académico de Magister en Estadística Matemática.
Aprobada por:
Mg. Ysela Dominga Agüero Palacios Mg. Wilfredo Eugenio Domínguez Cirilo
Miembro Presidente
Mg. Rosario Zorina Bullón Cuadrado Mg. Rosa Ysabel Adriazola Cruz
Miembro Miembro
Mg. Antonio Bravo Quiroz
Miembro Asesor
Lima – Perú
Julio 2016
Resumen
La presente investigación tiene como objetivo mostrar de manera práctica la inclusión del
método bootstrap dentro del proceso de estimación de la disposición a pagar (DAP) de un
determinado bien y/o servicio ambiental, bajo el enfoque de la valoración contingente de
formato binario. El principal aporte del documento es la inclusión de un criterio adicional
en el proceso de remuestreo bootstrap, seleccionándose aleatoriamente muestras que
contengan valores balanceados en la variable dependiente binaria.
Con fines ilustrativos, se utilizó la base de datos de tres estudios realizados en el país, con
el objetivo de estimar la media, el error estándar y el intervalo de confianza de la DAP
mediante bootstrap, incluyendo además el escenario de balanceo de la variable
dependiente binaria. En comparación con los resultados obtenidos en el escenario base
(con las muestras originales), al aplicarse el bootstrap con muestras balanceadas, se
obtuvo coeficientes logit con mayor significancia estadística y, además, menor promedio
y error estándar de la DAP.
palabras claves: valoración contingente, disposición a pagar (DAP), modelo logit,
bootstrap, sesgo hipotético.
1
Abstract
This research aims to show in a practical way the inclusion of the bootstrap method in the
process of estimating the willingness to pay (WTP) for a determined environmental
service, using the binary choice model for contingent valuation. The main contribution of
this work is the inclusion of an additional criterion in the bootstrap process, in which
samples are randomly selected containing balanced values in the dependent dichotomous
variable.
For illustrative purposes, it is used the data bases from three studies made in Peru, in order
to estimate the mean, standard error and the confidence interval of the WTP through de
bootstrap method, including also the balanced sample scenario. In comparison of the
results obtained in the baseline scenario (original samples), if the bootstrap method with
balanced subsamples is applied, it would be obtained logit coefficients with greater
statistical significance and also lower mean and standard error of the WTP.
keywords: contingent valuation, willingness to pay (WTP), logit model, bootstrap,
hypothetical bias.
2
Índice
Resumen .......................................................................................................................... 1
Índice ............................................................................................................................... 3
Capítulo 1: Introducción ................................................................................................ 5
1.1. Situación problemática ....................................................................................... 5
1.2. Formulación del problema.................................................................................. 7
1.3. Justificación de la investigación ....................................................................... 10
1.4. Objetivos .......................................................................................................... 11
Capítulo 2: Marco teórico ............................................................................................ 13
2.1. Modelos de elección discreta ......................................................................... 13
2.1.1. Familia exponencial ................................................................................... 14
2.1.2. Modelos lineales generalizados .................................................................. 21
2.1.3. Modelo logit ............................................................................................... 23
2.1.4. Bondad de ajuste en modelos dicotómicos................................................. 31
2.2. Valoración Contingente ................................................................................. 36
2.2.1. Enfoques del modelo tipo referéndum ...................................................... 37
2.2.2. Formas funcionales para la función indirecta de utilidad ......................... 41
2.2.3. Media y mediana de la medida de bienestar ............................................. 44
2.2.4. Sesgo hipotético ........................................................................................ 48
2.3. Bootstrapping.................................................................................................. 50
2.3.1. Definición .................................................................................................. 50
2.3.2. Estimación bootstrap del error estándar .................................................... 52
2.3.3. Aplicación del bootstrap en regresión ....................................................... 53
Capítulo 3: Metodología ............................................................................................... 56
3.1. Descripción de los estudios y datos utilizados ................................................. 56
3.2. Procedimiento de análisis ................................................................................. 61
3.3. Modelamiento y estimación ............................................................................. 63
Capítulo 4: Resultados ................................................................................................. 68
Conclusiones .................................................................................................................. 74
Referencias Bibliográficas ........................................................................................... 75
Anexos ............................................................................................................................ 79
A.1. Códigos y funciones programadas en R ........................................................... 79
A.2. Estimaciones utilizando los datos de Postigo (2011) ....................................... 83
A.3. Estimaciones utilizando los datos de MINAM (2013) ..................................... 84
A.4. Estimaciones utilizando los datos de Vásquez et al (2013).............................. 86
3
Índice de figuras
2.1. Función de distribución Logística F(X)….……………………………….……...25
2.2. Tabla de Clasificación de Predicción ……………………………….…….……32
2.3. Procedimiento del método bootstrap….…………………………….……..…….50
2.4. Estimación bootstrap del error estándar (Efron y Tibshirani, 1993)…….……...53
3.1. Cálculo de la DAP aplicando bootstrapping..…………...………………………..67
Índice de cuadros
2.1. Formas funcionales de la utilidad indirecta v y para v……….………….….….41
2.2. Medias y medianas de las formas funcionales de v…………………..………..47
4.1. Modelos logit estimados utilizando los datos de Postigo (2011)……………….68
4.2. Modelos logit estimados utilizando los datos de MINAM (2013)……………...70
4.3. Modelos logit estimados utilizando los datos de Vásquez et al (2013)…………71
4.4. Intervalos de confianza bootstrap de la DAP por estudio………………………73
4
Capítulo 1: Introducción
1.1. Situación problemática
Los modelos de elección discreta son usados por distintas disciplinas, como la economía,
medicina e ingenierías, cuando existe la necesidad o interés de modelizar una variable
endógena de naturaleza cualitativa o categórica. Al respecto, la aplicación de estos
modelos permite analizar los factores que determinan la probabilidad de que individuo
elija una respuesta o categoría, según las opciones posibles.
Dentro de la teoría económica, se han desarrollado métodos que se basan en la aplicación
de los modelos de elección discreta, enmarcándose éstos en dos enfoques principalmente:
el primero basado en la modelización de una variable latente mediante una función
indicadora, que trata de modelar una variable inobservable o latente, y el segundo basado
en la teoría de la utilidad aleatoria, de tal manera que la alternativa o categoría elegida en
cada caso será aquélla que maximice la utilidad esperada.
Específicamente en el campo de la economía ambiental, se han desarrollado técnicas para
modelar las preferencias de los agentes económicos que incorporan los bienes o servicios
ambientales (que no presentan un mercado definido) dentro de su función de utilidad;
estas técnicas son denominadas métodos de valoración económica, donde en algunos
casos, los modelos de elección discreta son la base en el proceso de estimación del nivel
de utilidad o bienestar.
Uno de los métodos de valoración económica más conocidos es el método de valoración
contingente, el cual, mediante la utilización de encuestas intenta recoger las preferencias
declaradas de los agentes con respecto a un recurso, bien o servicio. La valoración
contingente tiene como marco conceptual una fuerte base microeconómica y estadística,
donde se utiliza el análisis de regresión con variable de respuesta categórica, como los
modelos logit y probit.
El procedimiento de la valoración contingente consiste básicamente en diseñar un
cuestionario donde se detalla a los encuestados un determinado escenario hipotético
donde se provee el bien o servicio a valorar, definiéndose además un efecto de cambio o
5
mejora en su provisión. Por lo tanto, se le pregunta a los encuestados por la máxima
disposición a pagar por una mejora en la calidad o en cantidad del recurso, o en su
defecto, la disposición a aceptar (DAA) de una compensación monetaria para renunciar a
un cambio favorable o aceptar una situación desfavorable.
No obstante, para la aplicación de este método es necesario que se cumplan algunas
condiciones; en el Reporte del NOAA Panel on Contingent Valuation (NOAA, 1993) se
recomienda el uso del método de valoración contingente bajo ciertos criterios o
condiciones, dentro del marco de la evaluación de daños ambientales. Según su dictamen,
las siguientes deficiencias determinarían que un estudio de valoración contingente se
considere no confiable:
• Una alta tasa de no-respuestas en el conjunto de la encuesta o en la respuesta de
valoración.
• Respuestas inadecuadas al objetivo del daño ambiental.
• Ausencia de comprensión de los entrevistados acerca del estudio.
• Ausencia de credibilidad sobre el total del escenario de restauración.
• Respuestas en el referéndum hipotético, que no son explicados en función de los
costos o el valor de la mejora ambiental.
Cuando la valoración contingente se aplica para estimar el valor de un servicio ambiental,
generalmente la variable de respuesta binaria consiste en la aceptación o rechazo de un
supuesto pago para financiar hipotéticamente un determinado programa de protección o
conservación del servicio ambiental en estudio. En ese sentido, las respuestas podrían
estar afectadas si los encuestados no asimilan o internalizan el escenario hipotético
planteado en la encuesta. Uno de las desventajas del método de valoración contingente, es
justamente la presencia del sesgo hipotético.
En consecuencia, la respuesta binaria no es una variable observable per se, sino que
podría cambiar según el diseño y el procedimiento de aplicación de la encuesta,
independientemente de las características del encuestado. Por lo tanto, un individuo
podría responder de manera afirmativa en cualquier situación, si conoce o sospecha que
realmente el desembolso por el que se le pregunta no se va a concretar; situación que
6
puede cambiar si el diseño de la encuesta permite conceder mayor credibilidad al
escenario hipotético planteado.
1.2. Formulación del problema
En los últimos años, se han realizado estudios de valoración económica utilizando el
método de valoración contingente como herramienta principal de análisis, debido
principalmente a su versatilidad en capturar diferentes tipos de valor (de uso y no uso). De
acuerdo a la estructura de la valoración contingente, la etapa más importante es el diseño
de la encuesta, el cual debe asegurar que el encuestado realmente se involucre en el
escenario que se le presenta en el cuestionario.
El modelo tipo referéndum, planteado por Hanemann (1984), es uno de los enfoques más
conocidos dentro de la valoración contingente. Dicho enfoque se basa principalmente en
modelar la diferencia de la función indirecta de utilidad de los agentes ante una situación
de cambio. En la realización de las encuestas, se les pregunta de manera hipotética a los
individuos si están dispuestos a pagar un determinado monto para conseguir una situación
de mejora, o en su defecto, evitar una situación peor a la establecida.
Por lo tanto, las respuestas de los encuestados (si aceptan o no), serán las observaciones
de la variable dependiente, mientras que las variables explicativas del modelo son
generalmente características socioeconómicas del entrevistado. Asimismo, dentro de las
variables explicativas se debe incluir el monto que se pregunta como oferta de la situación
de mejora (esta variable generalmente es conocida como BID1).
Un patrón frecuente que se observa en la recolección de datos, es la existencia de una
mayor proporción de respuestas afirmativas respecto a aceptar un determinado pago para
obtener hipotéticamente una mejora en la dotación del recurso o bien. Generalmente, este
comportamiento puede ser causado por dos hechos: (i) los valores lances o BID en
promedio muy bajos, y/o (ii) el escenario hipotético planteado no es internalizado o
asumido por el encuestado; a este efecto se le conoce como sesgo hipotético.
Con respecto al primer punto, la asignación aleatoria de los valores de la variable BID
1 BID es una palabra en inglés que hace alusión a una oferta para pagar una determinada cantidad
de dinero por algo. En las subastas, el termino BID generalmente es utilizado a la hora de “lanzar”
la oferta por un bien subastado.
7
debe partir de la distribución empírica de los montos máximos que un individuo estaría
dispuesto a pagar, los cuales son recogidos directamente mediante una pregunta abierta
en la encuesta piloto. Por lo tanto, la realización de la encuesta piloto no sólo es
importante para determinar el número óptimo de muestra, sino también para asegurar la
asignación adecuada de los valores de la variable BID en las encuestas finales.
De acuerdo al segundo punto, el sesgo hipotético se presenta en principio en situaciones
donde se plantea un escenario ficticio. Si el encuestado no internaliza como posible el
escenario que se le plantea en la encuesta, sus respuestas pueden estar en función a otro
tipo de factores, los cuales no son objeto de estudio. Por ejemplo, un encuestado puede
responder que está dispuesto a colaborar con "X" soles para colaborar en la mejora o
cuidado de un servicio ambiental, solamente para mostrarse como alguien “colaborador”
o “con consciencia ambiental” ante al encuestador, sabiendo que dicho pago realmente no
se hará efectivo.
En consecuencia, para desarrollar una encuesta de valoración contingente es importante
disminuir en lo posible los sesgos intrínsecos que presenta dicho método, por ejemplo, a
través de inclusión de preguntas de control o validación, establecimiento de valores BID
derivados de un estudio piloto previo, y en general elementos que generen mayor
credibilidad al escenario planteado.
En la presente investigación, se toma como referencia de análisis tres estudios realizados
en el Perú donde se utiliza el método de valoración contingente de formato binario,
aplicándose el modelo logit para estimar la DAP. En los tres estudios analizados, no se
presentó la estimación del error estándar o la variabilidad de la DAP; asimismo, en los
tres casos se evidenció una participación mayoritaria de respuestas afirmativas para
aceptar el pago propuesto en la encuesta.
Según Yoo (2011), la distribución muestral de la DAP convencionalmente es derivado
mediante procedimientos de simulación, en donde se destacan la aproximación de
Cameron (Cameron, 1991), el método bootstrap (Efron, 1979), el método jackniffe
(Mcleod y Bergland, 1989) y el método de simulación Montecarlo desarrollado por
Krinsky y Robb (1986). Por lo tanto, con la aplicación de dichas técnicas es posible
8
estimar el intervalo de confianza de la DAP, y conocer así su nivel de variabilidad2.
La presente investigación parte de la iniciativa de exponer un método complementario a
la estimación del modelo logit, con el fin de obtener el error estándar de la DAP,
simulando un escenario en donde las respuestas de las encuestas de valoración son
equitativas, a razón de conocer los posibles efectos de considerar un contexto “ideal” de
estimación.
Para obtener los errores estándar de la DAP se propone utilizar método bootstrap
propuesto por Efron (1979) y consiste en la estimación no paramétrica mediante un
remuestreo con reemplazo. Asimismo, se ha considerado agregar un criterio adicional en
el proceso de remuestreo dentro de la aplicación del método bootstrap, el cual consiste en
balancear las observaciones de variable dependiente de un modelo logit, para simular un
escenario “ideal” de análisis3.
Con lo anterior, la investigación plantea la necesidad de responder a las siguientes
interrogantes:
• ¿Los coeficientes logit bootstrap presentarían alguna mejora en términos de
significancia estadística al aplicarse el balanceo de las observaciones de la
variable dependiente?
• ¿Existiría algún cambio en el valor estimado de la DAP cuando se utilizan los
coeficientes logit bootstrap, considerando variables dependientes balanceadas?
• ¿La DAP estimada mediante el modelo logit balanceado son eficientes?
2 Cooper (1994) comparó el desempeño de los métodos de simulación señalados, encontrando
que no existe un método superior entre ellos. Por lo tanto, Yoo (2011) menciona que la elección
de un método para la construcción de intervalos de confianza para la DAP debe ser realizada de
manera ad hoc.
3 Hilbe (2015) menciona que, en el caso de la regresión logística, idealmente se debería presentar
una relativa igualdad de unos y ceros en la variable de respuesta binaria.
9
1.3. Justificación de la investigación
En la actualidad, la aplicación de los métodos de valoración nos brinda un panorama más
amplio en la toma de decisiones, en contextos donde se presentan fallas de mercados. Por
ejemplo, la valoración económica puede aplicarse en el establecimiento de tarifas de un
servicio sin mercado, estimar económicamente una compensación o una sanción
pecuniaria causado por contaminar un ecosistema, valorar los impactos ambientales de un
proyecto de infraestructura, etc.
Por lo tanto, los resultados obtenidos a través de la aplicación de los métodos de
valoración, a pesar de la existencia de sesgos intrínsecos, deben ser los más precisos
posibles. Esto es importante, debido a que dichas estimaciones serán utilizadas como
información referencial en el contexto de una investigación de mayor magnitud, o incluso
como parte de la evaluación financiera de un proyecto de gran alcance e interés.
La obtención de la varianza, o en su defecto el intervalo de confianza del estimador de la
DAP, permitiría conocer el nivel de precisión con el que cuenta, generando así la
posibilidad de elaborar diversos análisis adicionales, como los de sensibilidad o de
escenarios, pues no sólo se toma en cuenta la estimación puntual.
La forma funcional de la DAP presenta una especificación no lineal en términos de los
coeficientes del modelo logit, por lo que el cálculo de la varianza de la DAP no se puede
obtener de manera directa. En ese sentido, se optó por aplicar el método bootstrap en un
modelo logit para estimar el error estándar de la DAP, debido a su facilidad operativa y de
implementación.
Por otro lado, Hilbe (2015) precisa que un modelo logit idealmente debería presentar una
relativa igualdad de unos y ceros en la variable de respuesta; por lo que señala que al
existir una proporción mayoritaria de unos o ceros en el predictor binario, el modelo logit
sería considerado como desbalanceado, por lo que sería necesario un ajuste en la
estimación de los parámetros4.
4 King y Zheng (2001) propusieron un ajuste en la estimación del intercepto en la regresión
logística ante la presencia de eventos raros (con variables de respuesta con gran desbalance), con
el objetivo de disminuir el sesgo por muestras pequeñas en el proceso de estimación de máxima
verosimilitud.
10
Sin embargo, el problema no radica en que las clases no están balanceadas per se, sino el
hecho a que no haya suficientes patrones pertenecientes a la clase minoritaria para
representar adecuadamente su distribución. Por lo que, a medida que se disponga de
mayores datos, el problema de "desbalance” de clases por lo general desaparece.
La respuesta binaria en una encuesta de valoración contingente no es una variable
observable per se, sino que ésta podría cambiar según el diseño y aplicación de la
encuesta, independientemente de las características del encuestado, en caso que se
presente el sesgo hipotético5. Entonces, en el presente estudio se asumió un escenario
adicional para calcular la DAP, el cual consiste en incluir un supuesto de igualdad de
proporción de individuos que aceptan el pago respecto a los que lo rechazan, es decir,
contar con respuestas binarias balanceadas.
Si suponemos que parte de los individuos que respondieron afirmativamente han
presentado un sesgo hipotético, entonces se podrá evaluar en qué medida cambia el valor
de la DAP en una supuesta eliminación del sesgo hipotético, esto a través de la simulación
de un escenario alternativo donde el número de personas que aceptan el pago sea igual o
parejo al número de personas que no lo aceptan.
Por lo tanto, la incorporación del bootstrap en el modelo logit, en el marco de la
estimación de la DAP en un estudio de valoración contingente, permitiría obtener de
manera sencilla el nivel de varianza de dicho estimador, además de incluir escenarios
alternativos de análisis.
1.4. Objetivos
Objetivo General
Evaluar el efecto de balancear la variable dependiente binaria en la estimación de
los coeficientes del modelo logit con bootstrapping; esto en el marco del cálculo de
la disposición a pagar mediante la utilización del método de valoración contingente.
5 De acuerdo a Labandeira (2007), el sesgo hipotético puede ser reducido si los entrevistados
entienden completamente la situación planteada y se les presenta un escenario creíble y preciso.
11
Objetivos Específicos
• Estimar los coeficientes del modelo logit utilizando el método bootstrap,
teniendo en cuenta dentro del proceso de remuestreo, tanto los datos
originales como la información incluyendo el balanceo de la variable
dependiente.
• Calcular la disposición a pagar utilizando los coeficientes estimados del
modelo logit con bootstrapping (con o sin balanceo), bajo el enfoque de la
valoración contingente de formato binario.
• Estimar el error estándar de la disposición a pagar, utilizando el método
bootstrap (con y sin balanceo) en el proceso de estimación de los
coeficientes del modelo logit.
12
Capítulo 2: Marco teórico
En el presente capítulo, se desarrolla un breve marco teórico de los modelos de elección
discreta, del método de valoración contingente y del método bootstrap. Respecto a los
modelos de elección discreta, se expone principalmente el modelo logit; asimismo, se
brinda alcances de los conceptos de familia exponencial y de los modelos lineales
generalizados, teniendo como principales referencias los trabajos de Demétrio (2001),
Dobson (2002), McCullagh y Nelder (1989), Nelder y Wedderburn (1972), entre otros.
Asimismo, lo expuesto acerca del método de valoración contingente, tiene como
referencia principal el trabajo de Vásquez, Cerda y Orrego (2007), en el cual se detalla los
enfoques planteados por Hanemann (1984), Bishop y Heberlein (1979), entre otros.
Además, utilizando los alcances de Efron (1979) y Efron y Tibshirani (1993), se presenta
una síntesis acerca del método bootstrap.
2.1. Modelos de elección discreta
Los modelos de elección discreta, son aquellos modelos que están conformados por un
conjunto de variables explicativas X , que pueden ser numéricas con valores continuos o
categóricos, y una variable dependiente binaria Y . Por lo tanto, la particularidad radica
en la estructura de la variable dependiente, debido a que éstas son netamente categóricas
o discretas.
En la presente sección, se desarrolla los conceptos más relevantes de los modelos de
elección discreta, específicamente del modelo logit, describiendo las características y
propiedades estadísticas que presenta la variable dependiente binaria, así como la
estructura funcional del modelo. A continuación, se abordan los siguientes temas:
• Familia exponencial
• Modelos lineales generalizados
• Modelo logit
• Bondad de ajuste en modelos dicotómicos
13
2.1.1. Familia exponencial
Se dice que una distribución de probabilidad, continua o discreta, es miembro de la
familia exponencial si su función de densidad o probabilidad se puede expresar como:
k
f x | hxs exp i ti xI Ax
i1
donde hx 0 , t1x, t2x,..., tk x son funciones real valoradas de las observaciones de
X , s 0 y 1 ,2 ,...,k son funciones real valoradas del vector de
parámetros .
Además, la función indicadora del conjunto A , denotado por I Ax donde
I Ax x1, x2 ,..., xn ; f x 0, presenta la siguiente forma:
1 xAx
IAx
0 xAx
Muchas de las distribuciones conocidas, por ejemplo, la normal, binomial, binomial
negativa, gamma, poisson y normal inversa, pertenecen a esta familia.
Otra forma equivalente de expresar una función de densidad o probabilidad de la familia
exponencial es:
k
f x | expi ti x ln hx ln s IAx
i1
En el caso que se presente sólo un parámetro, la función quedaría, como
f x | exp tx ln hx ln s IAx . Ahora, si consideramos d ln s y
gx ln hx y, tenemos que f x | exp tx gx d IAx .
Además, conociendo que las transformaciones de tipo 11 de variables o parámetros no
afectan a la definición de una distribución, al definir tX Y y
a , donde
14
0 , entonces tenemos que una distribución que pertenece a la familia exponencial se
puede expresar también de la siguiente manera (Demétrio, 2001):
f y | 1 exp y d g y; I a 1 1 Ay
donde d1. y g1. son funciones conocidas.
Asimismo, en coherencia a lo mostrado anteriormente, McCullagh y Nelder (1989)
presentaron la siguiente notación para definir una distribución de familia exponencial:
f 1 y | , exp y b cy; I a Ay
donde b. y c. son funciones conocidas, con 0
Si definimos como desconocido, f y | , puede pertenecer a la familia
exponencial con dos parámetros.
Considerando la notación propuesta por McCullagh y Nelder (1989), la función
generadora de momentos (f.g.m.) para una distribución, que pertenece a la familia
exponencial con un parámetro, se puede definir mediante la siguiente expresión:
MY t;, tY 1 E e exp ba t bIAy
a
Suponiendo que Y es una variable continua, se puede probar que:
f ydy 1
A
Entonces,
1
exp y b cy; dy 1 a
A
15
1 1
exp y cy;
dy 1 b a
exp A
a
Obteniéndose
1 b exp y c y; dy exp a A a
Considerando lo anterior, se tiene que:
MY t;, tY tYE e e f ydy
A
1
MY t;, exp a t y b cy; dy a A
MY
1 1
t; , exp a t y cy; dy b a
exp A
a
1 ba t MY t; , exp b a
exp
a
Entonces, la función generadora de momentos es:
MY t; tY 1 , E e exp b a t b I Ay a
En ese sentido, la función generadora acumulativa (f.g.a) correspondiente para una
distribución que pertenece a la familia exponencial con un parámetro, está dada por:
t;, 1 ln MY t;, ba t b a
Si se deriva la f.g.a sucesivamente en t , se tiene que:
16
1t;, b a t a b a t a
t;, ba t a
t;, ba t a 2
….
r t;, r r1b a t a
y para t 0 , se obtiene
k 1 b
k a b2
….
r1 r kr a b
Por lo tanto, se verifica que existe una relación de recurrencia entre los acumulados k
de la familia exponencial, siendo esto fundamental para la obtención de las propiedades
asintóticas de los Modelos Lineales Generalizados.
Asimismo, los momentos de la familia exponencial pueden ser obtenidos facilmente a
partir de los acumulados k (Kendall y Stuart, 1969). Como se muestra en Demétrio
(2001), la relación entre acumulados k y momentos en relación al origen, puede
expresarse de la siguiente manera:
k1 1
k 2 2 12
k 3 3 3 2 1
2
2 1
2 2k 4 3 44 4 3 1 2 12 2 1 61
siendo rr EY
17
Por otro lado, la relación entre los acumulados k y los momentos en relación a la media,
se presentan de la siguiente manera (Demétrio, 2001):
2k2 2
k3 3
k4 4 3 22
r
siendo r EY EY
Por tanto, la media y la varianza de una variable aleatoria Y cuya distribución pertenece
a una familia exponencial, en la forma canónica usada por McCullagh y Nelder (1989),
están dadas por:
EY b
2 varY a b
Además, si y1, y2 ,..., yn es una muestra aleatoria de una distribución que pertenece a una
familia exponencial, la función de densidad conjunta de y1, y2 ,..., yn es dada por:
n n
fY y;, f y;, 1exp
y
i
b cyi ;
i1 i1 a
n 1
fY y;, exp yi bexpcyi ; i1 a
n
1
n
fY y; , exp yi nb expcy i ; a i1 i1
y utilizando el teorema de factorización de Neyman-Fisher, se puede afirmar que
n
T yi es una estadística suficiente de , debido a que: i1
1 n
fY y;,
exp T nbexpcyi; gT ,hy1, y2,..., yn a i1
18
Siendo g nT , una función dependiente de y T yi , mientras que i1
hy1, y2 ,..., yn es una función independiente de .
Esto demuestra que, bajo un muestreo aleatorio, si una función de densidad pertenece a la
familia exponencial con un parámetro, entonces existe una estadística suficiente.
n
Además, usando el Teorema de Lehmann-Scheffe, se demuestra que T yi es una i1
estadística minimal.
Por ejemplo, si tenemos una variable aleatoria Y que presenta una distribución
Bernoulli, la función de probabilidad correspondiente estaría dada por:
f y | y 1 y1 , Y 0,1
reordenando,
f y | y 1 1 y
1
y
f y | y 1
1 y 1
f y | 1 expy ln
1
Se puede verificar entonces que al reemplazar s 1 , ln y tx y ,
1
la distribución Bernoulli pertenece a la familia exponencial. Además, podemos expresar
dicha función de probabilidad de acuerdo a la notación presentada por McCullagh y
Nelder (1989):
y
f y | 1
1
y
f y | expln 1
1
f y | expy ln ln1
1
19
1
donde 1,
ln y b ln1 ln1 e
a 1
Por otro lado, si tenemos una variable aleatoria Y que presenta una distribución
binomial, la función de probabilidad correspondiente estaría dada por:
n| y n yf y 1 I , 0,1, Ay 0,1,2,...nA y
y
reordenando,
y
n y n y n n f y | 1 I Ay 1 I
y y 1
Ay
n y n
f y | 1 expln I Ay
y 1
n n f y | 1 expy ln I Ay (2.1)
y 1
n n
Asimismo, se puede verificar que al reemplazar hx , s 1 ,
y
ln y tx y , la distribución binomial pertenece a la familia exponencial.
1
Además, podemos expresar dicha función de probabilidad de acuerdo a la notación
presentada por McCullagh y Nelder (1989):
y n y n y nf y | 1 I
n
Ay 1 I Ay
y y 1
n
y
n
f y | expln
1 I A y y 1
nf y | expy ln n ln1 ln IA (2.2) y 1 y
1
donde 1, ln , b ln1 ln1
e y cyi;
n
ln
a 1
y
20
2.1.2. Modelos lineales generalizados
Nelder y Wedderburn (1972) introducen el término de modelos lineales generalizados
(GLM). Dicho concepto consiste en principio en una generalización de diversos modelos
de regresión, donde las variables dependientes presentan determinadas distribuciones
probabilísticas pertenecientes a la familia exponencial (como la binomial, poisson, entre
otras), agrupándose todas en un solo marco teórico.
Un modelo lineal generalizado se especifica a partir de tres componentes:
• Un componente aleatorio, que es determinado por la variable respuesta Y , con
observaciones independientes y1, y2 ,..., yn a partir de una distribución de
probabilidad que pertenece a la familia exponencial.
• Un componente sistemático que identifica a las variables explicativas usadas en
una función lineal aditiva. Este componente relaciona un vector 1,2 ,...,n
con las variables explicativas del modelo lineal.
Sea x ji el valor del predictor j en la observación i , entonces:
k
i x , i 1,2,...,n0 j ji
j1
Esta combinación lineal de las k variables explicativas es denominada predictor
lineal.
• Una función de enlace g que especifica la función del valor esperado de la
variable de respuesta EY , el cual hace posible que la variable de respuesta Y
se vincule con el componente sistemático. La función de enlace g(.) es
monótona, diferenciable y enlaza i EYi con las variables explicativas a
través de:
k
gi 0 x i 1,2,...,nj ji ,
j1
21
La función de enlace que transforma la media hacia el parámetro natural es
llamado enlace canónico6, es decir:
k
gi i 0 x j ji
j1
Como se aprecia en las ecuaciones (2.1) y (2.2), el parámetro natural de la función de
probabilidad de una variable binomial es ln , siendo entonces el enlace canónico
1
del modelo GLM binomial, este último conocido como el modelo logit o de regresión
logística.
Por consiguiente, el modelo GLM con variable dependiente binomial tendrá la siguiente
especificación:
gi i
k
ln i 0 x , i 1,2,...,n j ji1 i j1
Asimismo, si tenemos una variable aleatoria Y que presenta una distribución de
poisson, la expresión de su función de probabilidad en términos de la familia exponencial
es:
y
e 1f y | e expy ln IA y
y! y!
En ese sentido, se puede probar que y ~ poisson pertenece a la familia exponencial,
teniendo como parámetro natural ln . Los modelos GLM que presentan como
función de enlace canónico g ln , son denominados modelos loglineal de poisson,
los cuales se especifican de la siguiente forma:
gi i
k
ln 0 x , i 1,2,...,n i j ji
j1
6 El enlace canónico resulta de expresar la función de probabilidad como la familia exponencial.
22
2.1.3. Modelo logit
Los modelos para respuesta binaria tienen una estructura en común, la variable
dependiente toma sólo dos posibles valores, de tal manera que su distribución es
necesariamente una Bernoulli. Como se mostró anteriormente, el modelo logit es un
modelo lineal generalizado (GLM), el cual presenta como función de enlace ln ,
1
siendo el valor esperado de una variable aleatoria que se distribuye como una
Bernoulli.
Si definimos Y como una variable binaria, que toma el valor 1 con una probabilidad
y valor 0 con una probabilidad 1 , la variable Y presentaría una función de
probabilidad de tipo Bernoulli, esto es:
y 1 y
f y | 1
donde,
PY 1 y PY 01
Entonces,
EY y py1 01
V 2Y Ey E 2y 12 021 2 1
En caso que la probabilidad dependa de X , la probabilidad condicional de Y se
especifica de la siguiente manera:
PY 1| X xi xi
PY 0 | X xi 1 xi
23
Estructura del modelo logit
Si se define X i como un vector de k variables explicativas en la observación i, y
como el vector de coeficientes del modelo, entonces:
k
X i 0 x , i 1,2,...,n j ji
j1
Asimismo, conociendo que el parámetro canónico de la distribución Bernoulli expresada
como familia exponencial es ln , el modelo generalizado logit se define como:
1
0
1
ln
i X , donde X 1 x x x i i 1i 2i ki 2
1 i
k
Despejando i tenemos:
expln i1
expX i
i
1 i exp X
ii
X i
1 ei
X i X 1 e 1 e i
Si i es definida como la función de distribución F X i , la función de densidad
tendrá la siguiente forma:
FX i
X
e i
f X i FX i 1 FX i X X i 2i 1 e
24
1
0.9
0.8
0.7
0.6
β=0.5
0.5 β=0.6
β=0.7
0.4 β=0.8
β=0.9
0.3 β=1
β=1.1
0.2 β=1.2
β=1.3
0.1
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
Figura 2.1. Función de distribución Logística F X
Estimador de máxima verosimilitud
Si f z | denota la función de probabilidad o densidad conjunta de la muestra
Z Z1, Z2 ,..., Z Z zn , entonces dado que es observado, la función de definida
por L | z f | z es denominada la función de verosimilitud (Casella y Berger,
2002).
Si Z1, Z2 ,...,Zn es una muestra aleatoria independiente e idénticamente distribuida de
una población con función de probabilidad o densidad f z |1,2 ,...,k , la función de
verosimilitud se define por:
n
L | z L1,2,...,k | z1, z2,..., zn f zi |1,2,...,k
i1
Para cada punto muestral z , sea ̂ z el �valor del parámetro en que L | z alcanza su máximo valor como función de , con fijo. Un estimador de máxima verosimilitud
del parámetro basado en la muestra Z es ̂ Z .
25
Función logistica - F(x)
Si la función de verosimilitud es continua y diferenciable en i , los posibles candidatos
para estimadores de máxima verosimilitud son los valores de 1,2 ,...,k que resuelven:
L | z 0 , i 1,2,...,k
i
En consecuencia, si definimos L como la función de verosimilitud del vector ,
para una muestra con n-observaciones independientes, entonces:
n
L y 1 yii 1 ii
i1
n
L yi 1 yF X i 1 FX i i
i1
yi 1 yn X i
yi 1 y
e i X X i e
i n e i 1
L 1 X i X i X i X i1 1 e 1 e i1 1 e 1 e i
Luego, aplicando logaritmo, obtenemos la función de log-verosimilitud:
n X i n
ln L e yi ln
1
1 y ln
X ii X i
i1 1 e i1 1 e
n n
X X
ln L yi X i ln1 e i 1 yi 1 ln1 e i
i1 i1
n n
X ln L yi X i ln 1 e i
i1 i1
Para obtener el estimador de máxima verosimilitud de , se maximiza la función
log-verosimilitud:
ln L X l n n e
i
y X X (2.3) i i i X ii1 i1 1 e
26
l
l 0 ̂
Para despejar se puede aplicar el algoritmo de Newton-Raphson, el cual consiste en
optimizar una función de manera iterativa, usando la expansión de la serie de Taylor de
segundo orden.
Si definimos f x como una función real, la expansión de la serie de Taylor en x0
sería:
f x f
n
0 x f x f x f x0 0 2 nx x0 x x0 ... 0 x x 0
1! 2! n0 n!
y si definimos T2 f ; x; x0 como la expansión de la serie de Taylor de segundo orden,
entonces:
T2 f ; x; x0 f x f 0 x0 x x0
al minimizar T2 f ; x; x0 tenemos que:
T2 f ; x; x0 f x 0 f x0 x x0 0 x
y si definimos x x1 , conociendo que x0 es el valor de partida, obtenemos:
f x
x1 x0
0
f x0
En consecuencia, la expresión general en la i-ésima iteración será:
f x
x i1
i xi1
f xi1
27
Por lo tanto, para iniciar el proceso iterativo de Newton Raphson que maximiza la función
de log-verosimilitud l , se propone un vector de valores iniciales 0 :
0
1 0 l
l 0
1
2
⋮
1 l l 1
j1
j j1 l
l j1
Donde, j ˆ j si las j iteraciones tienden a , es decir, i ˆi i 0
i 1,2,...,n .
Para obtener la segunda derivada de la función log-verosimilitud, l , se utiliza la
2 ln L
inversa de la matriz Hessiana H , la cual corresponde a la matriz de
varianza asintótica estimadas de :
2 ln L
n n X i
l y
i X i
e
X i X i
i1 i1 1 e
n X ie n X i
l X
e
i X i X X i 1 e ii1 i1
X
2
1 e i
n
X i
e 1
n
l X X X X 1 (2.4) i i X X i i i ii i
i1 1 e 1 e i1
Al verificarse que l 0 , se puede afirmar que la optimización realizada es una
maximización. Asimismo, la matriz de información se obtiene como la esperanza de la
matriz Hessiana con signo invertido, evaluado en 0 , es decir I EH 0 .
28
En ese sentido, la matriz de varianzas y covarianzas de es obtenido mediante el límite
o cota inferior de la inversa de la matriz de información, es decir:
n
I E X i X i0
10
i1
n
I f X i0 X i X i010
i1
1V I
Ahora, considerando las ecuaciones (2.3) y (2.4), las expresiones de l y l se
pueden expresar de la siguiente manera:
n n n
l y X i i X i i X iyi Eyi
i1 i1 i1
n n
l X i X i i 1 i X i X iV yi
i1 i1
Finalmente, incluyendo la primera y segunda derivada de la función de log-verosimilitud
en el proceso iterativo de Newton-Raphson7, se obtiene la expresión de :
j j1 j11 j1l l
1
n n
j j1 X i X iV yi X iyi Eyi
i1 i1
que en términos matriciales tiene la siguiente estructura:
j j1 1X WX X y Ey
donde,
7 Ver Dobson (2002)
29
y 1 x x x j
1 11 21 k1 0
y 1 x x x j
y 2 12 22 k 2 X
j 1
y 1 x x x j n 1n 2n kn k
2
y y 1 1 y2 y1 yn
2
W y 2
y1 y2 y2 yn
y y y y
2
n 1 n 2 yn
El efecto marginal o cambio parcial
En el caso del modelo de regresión lineal múltiple, el efecto marginal de cada variable x j
se obtiene a través de una simple derivada parcial, siendo su cálculo relativamente
sencillo. Si se especifica el siguiente modelo de regresión lineal:
k
yi X i x , i 1,2,...,n0 j ji
j1
Entonces, el efecto marginal de yi por cada variación de una unidad de x ji es:
yi y i
jx ji x ji
Sin embargo, el efecto marginal en los modelos no lineales no se determina de manera
directa mediante el valor de los coeficientes j , donde j 1,2,...,k , como en el caso
lineal.
La estimación del efecto marginal de la variable dependiente sobre la respuesta, se planea
del siguiente modo:
Pyi 1| X i i FX i
x ji x ji x ji
30
Si sabemos que,
FX i FX i X i
x
ji X i x ji
Entonces,
Py 1| X FX X i i i i X i
x X x
f X i f X i j
ji i ji x ji
Por lo tanto, el efecto marginal de yi con respecto a x ji es:
Pyi 1| X i f X i j 1 i i jx ji
En el caso que una variable x j sea binaria, el efecto marginal se obtiene como la
diferencia entre la probabilidad que yi 1 dado que x ji 1 y la probabilidad que
yi 1 dado que x ji 0 , entonces:
Pyi 1| X i Pyi 1| x ji 1 Pyi 1| x ji 0 x ji
X X P yi 1| X i e i e i X Xx 1 e i 1 e iji x ji1 x ji0
2.1.4. Bondad de ajuste en modelos dicotómicos
A diferencia del modelo de regresión lineal o múltiple, con variable dependiente
cuantitativa continua, los modelos de elección discreta no tienen un coeficiente de
determinación claramente definido; no obstante, existen algunas aproximaciones que
pueden ser consideradas como indicadores de “bondad de ajuste” del modelo, siendo los
más conocidos el Porcentaje de Predicción Correcta (PPC) y el pseudo R cuadrado de
McFadden.
31
Porcentaje de Predicción Correcta (PPC)
Los valores predichos por el modelo dicotómico, como el logit, pueden ser generados
tomando algún valor crítico referencial a partir del cual se puede esperar que yi 1 .
1 , si FX c
yˆi
i
0 , si FX i c
Usualmente el valor crítico utilizado es c 0.5 , por lo tanto, si el modelo estima que la
probabilidad que yi 1 es mayor a c , es decir i 0.5 , se debe considerar que yˆi 1.
En cambio, si la probabilidad que yi 1 es menor a c , es decir i 0.5 , se debe
considerar que yˆi 0 .
Por lo tanto, el porcentaje que resulta dividiendo las veces que coincide ŷi con yi , con
respecto al total de observaciones, lo denominaremos el Porcentaje de Predicción
Correcta (PPC). Por consiguiente, un modelo es mejor que otro si su porcentaje de
“matching” o coincidencias (pronósticos correctos) es mayor.
Pronóstico del modelo
Total
yˆi 0 yˆi 1
y N i 0 N N0
Valores 00̂ 01̂
observados yi 1 N N
10̂ 11̂ N1
Total N N 0̂ 1̂ N
Total Correctas N N N N 00̂ 11̂ 00̂ 11̂
N N N
Porcentaje Correctas – PPC (%) N / N N / N 00̂ 11̂
00̂ 0̂ 11̂ 1̂
Figura 2.2. Tabla de Clasificación de Predicción
Adicionalmente, una manera de establecer el valor crítico c para la elaboración de las
tablas de clasificación, es mediante la estimación de la predicción promedio del modelo
logit especificado (Hilbe, 2009). En ese sentido, la estimación de c se podría obtener
mediante la siguiente fórmula:
32
n n ˆ0 ˆ1x1i ...ˆ x1 1 e k ki
c ˆ ˆ i
n ˆ x ...ˆ
x
i1 n i1 1 e 0 1 1i k ki
Pseudo R Cuadrado
McFadden (1973) sugirió una alternativa, conocida como “likelihood ratio index”,
comparando un modelo sin ningún predictor a un modelo que incluye todos los
predictores. Es definido como uno menos la proporción log-verosimilitud con todos los
predictores entre el log-verosimilitud tomando sólo el intercepto:
ln Lˆ ˆ ˆ
2 0
ln L ln L j j
pseudo R 1
ln Lˆ ln Lˆ0 0
Donde ln Lˆ ln Lˆ0 j
Si consideramos la siguiente condición:
Si Lˆ Lˆ0 j
Entonces,
0 Lˆ0 Lˆ j 1
ln Lˆ0 ln Lˆ j 0
ln Lˆ0 ln Lˆ j
ln Lˆ j
0 1
ln Lˆ0
Por lo tanto, se puede demostrar que el pseudo R cuadrado de McFadden se encuentra
entre los valores 0 y 1:
33
ln Lˆ
0 1 j 1
ln Lˆ0
Asimismo, Maddala (1983) desarrolló otro pseudo R cuadrado que se puede aplicar a
cualquier modelo estimado por el método de máxima verosimilitud. Esta medida popular
y ampliamente utilizada se expresa como:
ˆ 2 n ln L
2 j
Rmaddala 1
ln Lˆ0
Definiéndolo en términos de la razón de verosimilitud ( LR ), se tendría:
LR 2ln Lˆ j 2ln Lˆ0
Entonces,
LR 2ln L
ˆ ˆ
e e j
2ln L0
2
LR ln L
ˆ
j 2ln Lˆ e e 0
ln Lˆ 2LR j ln Lˆ
2
e e e 0
2 ˆ ˆ 2ln L ln L LR
e 0 LR ˆ e
j
ln L j ln Lˆ
0
Asimismo,
ˆ 2 n ˆ 2 nLR ln L LR j ln L n je ˆ 1 e
n 1 ˆ ln L 0 ln L 0
Por lo tanto, el pseudo R cuadrado propuesto por Maddala se expresa de la siguiente
manera en términos de la razón de verosimilitud:
34
ˆ 2 n ln L LR
2
Rmaddala 1
j
n
ln Lˆ
1 e
0
2 n
Maddala demostró que el pseudo R cuadrado presenta un límite superior de 1 Lˆ j
, por lo que sugirió una medida normalizada expresada de la siguiente manera:
ln Lˆ 2 nj
1
ln Lˆ 2 0 Rmaddala
1 Lˆ 2 nj
Si bien el pseudo R cuadrado de Maddala es comúnmente utilizado, sus propiedades
estadísticas no han sido ampliamente investigadas. En el estudio de Mittlbôck y
Schemper (1996) se han revisado distintas medidas de bondad de ajuste para el caso de la
regresión logística, pero sus resultados son principalmente empíricos y numéricos.
35
2.2. Valoración Contingente
El método de valoración contingente es una técnica utilizada para obtener el valor
económico que los individuos le asignan a un bien o servicio. Muchos investigadores han
aplicado este método para estimar el valor de un bien y/o servicio, cuando se presentan
determinadas fallas de mercado, como la presencia de bienes públicos, externalidades,
entre otros. En ese sentido, dentro de la economía ambiental se utilizan distintos métodos,
entre ellos la valoración contingente, para determinar el valor de los bienes o servicios
ambientales, debido a que generalmente el mercado no internaliza el verdadero aporte
que éstos brindan a la economía, teniendo como consecuencia una asignación no óptima o
ineficiente de dichos recursos.
La valoración parte de la medición del cambio del nivel de bienestar económico que un
individuo experimenta ante una alteración en las condiciones del mercado, como la
disminución o aumento del precio o la calidad de un bien. Conceptualmente, dicho
planteamiento es compatible con las medidas de bienestar hicksianas8, ampliamente
aceptadas por la literatura económica como estimaciones que reflejan el cambio en el
bienestar de los individuos. Es decir, la valoración contingente se basa en los conceptos
de bienestar derivados de la variación compensada y la variación equivalente.
El origen de la valoración contingente se remonta al estudio de Ciriacy-Wantrup (1947),
donde se investigó acerca de los beneficios de la erosión. Asimismo, el autor sugirió la
utilización de entrevistas o encuestas personales donde se pregunten acerca de la
disposición a pagar por acceder a cantidades adicionales de un determinado bien y/o
servicio. En el trabajo de Davis (1963) se diseñó formalmente la primera encuesta de
valoración contingente como parte del estudio para valorar las actividades de caza en los
bosques del estado de Maine, Estados Unidos.
Una contribución importante para el desarrollo de este método, fue lo formulado en el
trabajo de Bishop y Heberlein (1979), en el cual se incorporó un formato de pregunta
8 Según la teoría microeconómica, si el objetivo del consumidor consiste en la minimización del
gasto necesario para alcanzar un nivel determinado de utilidad, las demandas derivadas de
resolver dicho problema de optimización son denominadas de tipo hicksianas. Bajo este enfoque,
existen medidas de bienestar que provienen de las demandas hicksianas, tal como la variación
compensada o la variación equivalente.
36
binaria o dicotómica en las encuestas de valoración contingente. Bajo este formato, se le
presenta a los encuestados una cantidad Bt , representando el precio del bien, y los
individuos deciden si adquieren el bien y pagan la cantidad Bt o simplemente se niegan
a dicha “compra”. Antes del estudio de Bishop y Heberlein (1979), el formato aplicado en
los estudios empíricos eran los de formato abierto, en el cual se le preguntaba a los
encuestados de manera directa por su máxima disposición a pagar por el bien o proyecto
objeto de valoración.
El formato binario, también conocido como referéndum, induce a los encuestados a
revelar sus preferencias ante circunstancias parecidas a las transacciones habituales. En
otras palabras, se les presenta a los individuos un escenario donde tienen que decidir si
toman o dejan la opción de adquirir un bien, el cual presenta un determinado precio
hipotético. Dado que la variable dependiente en este tipo de formatos es discreta, la
estimación econométrica se realiza mediante un procedimiento de máxima verosimilitud.
Generalmente, se asume que los errores de la regresión se distribuyen normalmente o de
manera logística, dando lugar a un procedimiento de estimación probit o logit,
respectivamente.
Por otro lado, Hanemann (1984), Cameron y James (1987) y Cameron (1988)
desarrollaron formulaciones teóricas del método de valoración contingente con formato
binario, que permiten estimar cambios en el bienestar de las personas. A partir de dichos
aportes, se distinguen dos enfoques en el planteamiento del formato binario de la
valoración contingente; el primero propuesto en el trabajo de Hanemann (1984) conocido
como el modelo de diferencias de la función indirecta de utilidad, mientras que el
segundo desarrollado por Cameron (1988) conocido como función de variación,
centrándose en la diferencia de funciones de costo. Cameron (1988) y Hanemann (1984)
difieren en el tipo de función de respuesta que asumen para el proceso de referéndum.
2.2.1. Enfoques del modelo tipo referéndum
Hanemann (1984) propuso el modelo de diferencias de la función indirecta de utilidad, el
cual consiste en considerar la variación que se presenta en la función de utilidad de los
consumidores al incluirse una demanda de un determinado bien, el cual es objeto de
37
valoración. Si definimos v j como la función de utilidad indirecta de un consumidor, p
el vector de precios que enfrentan los individuos, e y el ingreso familiar, se tiene:
u v j j p, y;q j
Donde j 0 representa la situación inicial y j 1, la situación de cambio (por ejemplo,
la mejora en la calidad ambiental). En el presente enfoque se asume que la utilidad se
encuentra en función de un vector de calidad ambiental denotado por q j .
Asimismo, las características socioeconómicas de los individuos que son relevantes
pueden incorporarse en la especificación de la función de utilidad, a fin de modelar la
respuesta binaria, el cual consiste en aceptar o no el pago de Bt para conseguir la
situación de cambio. Por dualidad, se puede obtener la función de gasto m j mediante la
inversa de la función indirecta de utilidad, expresándose como:
1
m v j j p, y;q j
Uno de los supuestos más importantes detrás de la valoración contingente consiste en que
las funciones de utilidad tienen componentes que son a priori desconocidos, lo cual
involucra que la estructura del modelo sea estocástica, es decir, la especificación de las
funciones de utilidad incorpora un componente estocástico. Este componente aleatorio
puede incorporar tanto características del consumidor, como de las alternativas a ser
evaluadas.
En ese sentido, la función indirecta de utilidad es una variable aleatoria, que presenta la
siguiente expresión:
u v j j p, y;q j j
donde j es el término de error, el cual tiene la siguiente propiedad E j 0 . De
acuerdo con McConnell (1990), un modelo de valoración contingente pone a los
encuestados en una situación donde tienen que elegir entre una mejora en la calidad
38
ambiental, es decir de q0 a q1 , para lo cual se debe de pagar una cantidad Bt, o continuar
en la situación actual. En este contexto, la probabilidad de una respuesta afirmativa por
parte del individuo se formula de la siguiente manera:
Psi Pv1p, y Bt ;q1 1 v0p, y;q0 0
Psi Pv1p, y Bt ;q1 v0p, y;q0 0 1
Entonces,
Psi Pv 0 1 (2.5)
Por lo tanto, si consideramos 0 1 en la ecuación (2.5) podemos expresar la
probabilidad de aceptar un pago Bt mediante F v , donde F es la función de
distribución acumulada de . Al respecto, al definir una distribución para y
especificando de manera apropiada la función de utilidad indirecta v. , los parámetros
de la función diferencial v pueden ser estimadas con la información brindada a partir
de las respuestas obtenidas de las encuestas de formato binario.
Por otro lado, Cameron (1988) propuso el enfoque de función de variación, en el cual se
asume que un individuo calcula su disposición a pagar o disposición a aceptar, teniendo
en consideración la función de gasto. Según McConnell (1990), mi u1 i se define
como la cantidad de dinero necesaria para alcanzar un nivel de utilidad igual a u1 , donde
i 0 representa la situación inicial y i 1 , la situación con acceso al recurso o mejora
de la calidad ambiental, mientras que i es el factor estocástico o error, donde
E i 0.
Considerando el formato binario del enfoque de función de variación, una respuesta
afirmativa involucra que la cantidad de dinero Bt requerida a los individuos es menor que
su máxima disposición a pagar, la cual se obtiene comparando las funciones de gasto ante
las situaciones sin y con mejora en la calidad ambiental. Lo mencionado se puede
expresar de la siguiente manera:
39
Bt m0u1 0 m1u1 1
Bt m0u1m1u1 0 1
Entonces, la función de variación se puede definir como:
S. m0u1m1u1 0
Según McConnell (1990) se llama función de variación debido a que es la variación
compensada o equivalente, dependiendo del tipo de pregunta que se formule, y además
considerando los derechos de propiedad involucrados. Este enfoque planteado por
Cameron, no requiere necesariamente formular en forma analítica una función de gasto y
luego calcular la diferencia entre dos funciones evaluadas con y sin la mejora en la
calidad ambiental. Por el contrario, en el modelo de Cameron se utiliza la información
brindada por las respuestas de los individuos para obtener directamente la verdadera
función de valoración. En otras palabras, el modelo se puede expresar mediante una
ecuación con la siguiente forma:
yi xi i
donde yi representa a la disposición a pagar (DAP). La ecuación representa la
disposición a pagar como función del vector de variables xi . Por otro lado, en el enfoque
de Hanemann, sólo es posible la estimación de una función de probabilidad y no de
manera directa la verdadera función de valoración revelada por los individuos, tal como
se enuncia en la expresión antes mencionada. Por tanto, el enfoque de diferencias de la
función indirecta de utilidad no permite de manera directa estimar el cambio en la
disposición a pagar ante variaciones en las variables explicativas, es decir, DAP xi .
De manera general, el modelo de Cameron es más sencillo en términos de interpretación y
de cálculo. Para estimar la media de la disposición a pagar, simplemente equivaldría al
valor esperado de la variable dependiente de la regresión planteada, es decir, Eyi | xi .
No obstante, en la literatura ha existido una predominancia del enfoque de diferencias de
la función indirecta de utilidad; asimismo, Hanemann (1984) esboza la interpretación
alternativa de Cameron y compara las propiedades estadísticas de ambas interpretaciones.
40
Debido a que el modelo planeado por Hanemann es el enfoque más utilizado, y el que
además presenta mayor aceptación en la literatura, dada su mayor complejidad y riqueza
interpretativa, a continuación, se detalla acerca de las formas funcionales y el método de
estimación de las medidas de bienestar propias de dicho enfoque.
2.2.2. Formas funcionales para la función indirecta de utilidad
En el enfoque de diferencias de la función indirecta de utilidad, se concluye que la
probabilidad que un individuo responda afirmativamente a la pregunta en donde se
plantea la mejora de la calidad ambiental, sujeto a un pago Bt, está determinada por
Pv 0 1 , como se mostró en la ecuación (2.5).
Para determinar la función de probabilidad derivada del modelo, se requiere definir la
forma funcional para v . En el siguiente cuadro se presenta las expresiones de v
propuestas por Hanemann (1984), Bishop y Heberlein (1979) y la forma funcional
Box-Cox generalizada, discutida en Hanemann y Kanninen (1999), pero sin considerar
variables explicativas adicionales al ingreso y .
Cuadro 2.1. Formas funcionales de la utilidad indirecta v y para v
Función v Forma funcional v
I vi i y i v Bt
B t
II vi i ln y i v ln1
y
v0 y
III
v ln Bt
v1 y exp
y 1 1
0 y
IV v v y Bt
0 1
i i i
i
Fuente: Vásquez et al (2007), basando en Hanemann (1984) y Hanemann y Kanninen
(1999).
Donde Bt representa la suma de dinero propuesta o el valor umbral, 0 y
1 0 0 . Las formas funcionales presentadas se obtienen aplicando el
procedimiento planteado por Hanemann. A partir de la forma funcional de Box-Cox
41
(mostrada en la fila IV del Cuadro 2.1) se derivan las otras formas funcionales, por lo que
se considera una expresión generalizada.
De acuerdo al procedimiento dado en el enfoque de diferencia de funciones indirectas de
y 1
utilidad de diferencia, la función Box-Cox v , se puede expresar i i i i
tanto en la situación inicial como la final de la siguiente manera:
y 1
v 0 0 0
y B 1
v1 t 1 1
Entonces, la función de diferencia en utilidad sería:
v 1
y Bt 1 y 1
1 0 0
1v 1 0 1y Bt 1 0 y 0
1 0 y 0 v y Bt 1
Si se asume que 0 1 , se tiene que
v y Bt y
v y Bt y
En caso definamos 1 , se obtiene la forma funcional lineal v Bt . Si 0 ,
se obtiene la expresión de la forma funcional semilogarítmica v ln1 Bt y .
42
Función indirecta de utilidad de forma lineal
Al definir una función indirecta de utilidad de forma lineal, tal como vi i y i , la
situación inicial y la final se expresan en los siguientes términos:
v0 0 y 0
v1 1 y Bt 1
Entonces, la diferencia de las funciones de utilidad v , se obtiene de la siguiente
manera:
v 1 y Bt 0 y
v 1 y Bt 0 y
v 1 0 Bt
v Bt
Función indirecta de utilidad de forma semilogarítmica
De la misma manera, si tenemos una función indirecta de utilidad
vi i ln y i , entonces la situación inicial y final se expresan como:
v0 0 ln y 0
v1 1 lny Bt 1
En consecuencia, la diferencia en utilidad v se define mediante la siguiente expresión:
v 1 0 lny Bt ln y
y B
v ln t
y
v ln
B
1 t
y
43
Como se menciona en Vásquez et al (2007), la expresión v que parte de una función
B
indirecta de utilidad semi-log, se puede aproximar como t .
y
2.2.3. Media y mediana de la medida de bienestar
En el caso que el valor de Bt sea igual a la verdadera valoración que un individuo le
asigna a un bien, se presentará un nivel de indiferencia entre pagar y no pagar dicho
monto. Si tenemos que la valoración de un individuo es C , entonces se presenta la
siguiente situación:
v1p, y C;q1 1 v0 p, y;q0 0
Por otro lado, conocemos que la función gasto de v1p, y C;q1 1 es igual a
m m1p,v1;q1 , por lo que se deduce que:
C y m1p,v1;q1
Además, si sabemos que v1p, y C;q1 v0p, y;q0 0 1 ,entonces tenemos que:
C y m1p,v0p, y;q0 ;q1
Por lo tanto, C se puede definir como una medida de bienestar hicksiana. Asimismo,
dado que la función de utilidad presenta un componente aleatorio, C será una variable
aleatoria. A continuación, se presenta la derivación de C para cada forma funcional de
v .
Función indirecta de utilidad lineal
Si se presenta la función lineal vi i y i , la situación inicial y final se puede
expresar como:
v0 0 y 0
v1 1 y C 1
44
Ahora, al considerar C en vez de Bt en la situación final, se obtendrá la verdadera
disposición a pagar (DAP) que iguala los niveles de utilidad en los dos estados, es decir:
v 1 0 C 1 0 0
C
Despejando C , tenemos que:
C (2.6)
Función indirecta de utilidad semilogarítmica
Aplicando un procedimiento similar al anterior con la función semi-log
vi i ln y i , se tiene que:
v0 0 ln y 0
v1 1 lny C 1
y
y B t y B
v ln t 1 0 lny
0
y
Entonces,
C y1 e
e
Función indirecta de utilidad de Bishop y Heberlein
Si consideramos C en lugar de Bt , la función v se expresaría de la siguiente manera:
v ln C 0
45
Por lo que C está dado por
ln C
C e e
Función indirecta de utilidad de Box-Cox
Si reemplazamos el valor C en lugar de Bt , dentro de la función diferencial de
Box-Cox, tenemos que:
y
v 1 y C 0 0 1
Despejando C ,
0 y C y 0 1
1 1 1 1
1
0
C y y
0 1
1 1 1 1
Si 0 1 , entonces
1
C y y
1
C , si 1
C y1 exp , si 0
De acuerdo a los resultados obtenidos, es posible definir las medidas de bienestar
Hicksianas. Según Hanemann, las medidas de bienestar son las siguientes:
46
• La media: Es la esperanza o el valor esperado del monto de dinero que un
individuo estaría dispuesto a pagar para que la situación de mejora ambiental se
realice, de modo que permanezca tan bien como en la situación inicial.
• La mediana: Es la suma de dinero necesaria para que un individuo esté en el
umbral de indiferencia entre mantener el uso del recurso o servicio ambiental y
*
renunciar a ello (denotado por C ); es decir
, *P v1 p y C ;q1 v0p, y;q0 0.5
Por lo tanto, hay un 50% de probabilidades que un individuo esté dispuesto a
pagar la suma ofrecida. De esta manera, la función v se expresaría como
v1 , *p y C ;q1 v0p, y;q0 . Así que,
Pv *C F v *C 0.5
Tanto para el caso logit, como el caso probit, tenemos que F 0 0.5 y, por
consiguiente, *v C 0 . Al aplicarse estos conceptos desarrollados en los modelos de
utilidad indirecta se obtienen las expresiones de la media y la mediana para las distintas
especificaciones de v , tal como se muestra en el siguiente cuadro:
Cuadro 2.2. Medias y medianas de las formas funcionales de v
Modelo Media Mediana
I C
1 II C y e e y1 e Ee y1 e
III
C e e e Ee e
1 1
1
IV C y y E y y
y y
Fuente: Vásquez et al (2007), basando en Ardila (1993).
Es preciso señalar que la expresión de la esperanza matemática de las filas II y III de
47
Cuadro 2.2, es definido mediante la función generadora de momentos de v , donde
según Hanemann, presentan la forma E e para el caso del logit, y
sin
1 E e exp para el caso del probit (Vásquez el al, 2007).
2
2
2.2.4. Sesgo hipotético
En los métodos de valoración de preferencias reveladas, como es el caso del método de
valoración contingente, se pueden presentar algunos sesgos en la determinación del
verdadero valor de un determinado bien y/o servicio. Estos sesgos se originan debido al
hecho que se plantean escenarios hipotéticos para capturar la disposición a pagar o
aceptar de un individuo.
Según Riera (1994), uno de los problemas teóricos que primero se planteó en la
construcción de mercados hipotéticos fue el del comportamiento estratégico de las
respuestas, el cual se produce cuando los encuestados utilizan sus respuestas para intentar
influir en los resultados del estudio. Asimismo, se puede presentar el sesgo de
complacencia, el cual se genera cuando la persona encuestada, no revela su verdadera
disposición a pagar ante la pregunta de valoración, sino que responde lo que supone que
espera la otra persona.
Una manera de minimizar estos sesgos es considerar un formato binario o dicotómico,
restringiendo al encuestado solamente a aceptar o denegar un monto de pago que se le
plantea, a diferencia del formato abierto (open-ended), donde el encuestado revela un
determinado valor monetario de manera directa. Riera (1994) mencionó que una solución
teórica al problema del sesgo estratégico, es la de plantear la pregunta en términos de
referéndum.
En principio, la valoración contingente supone que los individuos toman decisiones
económicas basadas únicamente en el valor de un bien, sin embargo, varios estudios (por
ejemplo, Stevens et al, 1991; Kotchen y Reiling, 2000) han sugerido que los individuos
presentan una disposición a pagar, que se basa en parte en lo que los encuestados
consideran que es su parte justa o su obligación moral. Los encuestados también pueden
48
estar dispuestos a pagar para obtener la aprobación de sus pares o de una "cálida
sensación" asociado con dar.
La presencia de sesgos son un problema latente en los métodos de preferencias reveladas,
en donde la simulación de un mercado hipotético es la base de la valoración. Uno de los
principales sesgos que se pueden presentar en la aplicación del método de valoración
contingente es el denominado sesgo hipotético, el cual consiste en la no internalización
del escenario hipotético por parte de los encuestados.
Según Neill et al (1994), el sesgo hipotético se origina debido a que los individuos
usualmente se comportan de forma distinta a la hora de responder sobre su disposición a
pagar en los cuestionarios de valoración, pues muestran una mayor disponibilidad a pagar
cuando se les presenta un escenario hipotético, comparado a una situación en donde
efectivamente se tiene que realizar un desembolso real. Así pues, se puede presentar una
sobreestimación de la DAP en los mercados contingentes atribuida en gran parte a un
sesgo hipotético, es decir, en una situación donde el escenario hipotético no fue
internalizado como real por el encuestado.
De acuerdo a Labandeira (2007), el sesgo hipotético puede ser reducido si los
entrevistados entienden completamente la situación planteada y se les presenta un
escenario creíble y preciso. Para ello, es conveniente que el servicio ambiental sea
definido puntualmente y que no dé lugar a ambigüedades o generalizaciones. Según
Champ y Bishop (2001), Ready y Navrud (2001), y Cummings y Taylor (1999), a medida
que se les pide a los encuestados un nivel de compromiso más alto o un nivel más alto de
certeza, su DAP hipotética se acerca al pago real.
Una de las técnicas para reducir el sesgo hipotético es el denominado Cheap Talk, cuyo
nombre fue acuñado por Cummings y Taylor (1999). Esta técnica consiste en incorporar
un párrafo que explica el problema del sesgo a los participantes en el estudio antes de
administrar los cuestionarios de valoración. Los estudios más representativos que
demostraron la validez del Cheap Talk han sido ejecutados en su mayoría en países
desarrollados (Cummings y Taylor, 1999; List, 2001; Brown et al 2003; Lusk, 2003;
Murphy et al, 2005).
49
En el Perú, el estudio realizado por Maturana y Pintado (2013) denominado “Validación
metodológica del Cheap Talk y su aplicación en la valoración económica por la reducción
de gases efecto invernadero en Perú”, encontró que la herramienta en cuestión tuvo una
influencia significativa (cerca de 25%) disminuyendo el sesgo hipotético en encuestas de
valoración contingente, estimándose una disponibilidad a pagar promedio de la población
de Lima por reducir la emisión de gases efecto invernadero de S/. 7.46 soles (2.6 dólares)
por persona por semana.
2.3. Bootstrapping
2.3.1. Definición
El bootstrapping (o bootstrap) es un método computacional propuesto por Bradley Efron
en 1979, que consiste en estimar medidas de precisión de estimadores estadísticos. Una
* * * *
muestra bootstrap X x1 , x2 ,..., xn es obtenida muestreando aleatoriamente con
reemplazo n elementos de la muestra original B veces, por lo que se podrá estimar
estadísticos de cada una de las muestras bootstrap.
* * * * *X1 (x11 , x12 ,..., x1n ) 1̂
X (x1, x2 ,..., x *n ) *
X 2 (
* *
x21 , x22 ,...,
*
x 2n ) 2̂
ˆ
.
.
.
* ( *, *,..., *X *B xB1 xB2 xBn ) B̂
Figura 2.3. Procedimiento del método bootstrap
Los problemas de inferencia estadística frecuentemente implican estimar algunos
aspectos de la distribución de probabilidad F basado en una muestra aleatoria obtenida
de F . La función de distribución empírica, que se denotará como F̂ , es una estimación
simple de la función de distribución F , por lo que mediante F̂ se podrían estimar en
principio algunos aspectos interesantes de F , como su media, mediana o correlación. En
esto consiste el principio plug-in, siendo el bootstrap una directa aplicación de este
principio.
50
La función de distribución empírica
Si se tiene una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución de probabilidad:
F x1, x2 ,..., xn
La función de distribución empírica es definida como una distribución discreta que asigna
probabilidad 1 n para cada valor xi , donde i 1,2,...,n . En otras palabras, F̂ asigna a
un conjunto A en el espacio muestral de X , su probabilidad empírica:
#{x A}
Prob{A} i
n
el cual es definida como la proporción de observaciones de la muestra X x1, x2 ,..., xn
que ocurren en A . Por ejemplo, en una muestra de 100 lanzamientos de un dado, los
resultados 1, 2, 3, 4, 5 y 6 ocurren 17, 15, 11, 21, 15, 21 respectivamente, por lo tanto, la
distribución empírica es 0.17, 0.15, 0.11, 0.21, 0.15, 0.21.
La distribución empírica es una lista de valores tomados en una muestra
X x1, x2 ,..., xn con la proporción de veces que cada valor ocurre. En el ejemplo de
lanzamiento de los dados, el vector de frecuencias observadas Fˆ fˆ1, fˆ2 ,..., fˆ n es una
estadística suficiente de la verdadera distribución F f1, f2 ,..., fn . Esto significa que
toda la información sobre F contenida en X es también contenida en F̂ . Asimismo,
el principio de suficiencia asume que los datos han sido generados a partir de una muestra
aleatoria de una distribución F .
Asimismo, el principio plug-in es un simple método de estimación de parámetros a partir
de la muestra. Por lo tanto, el estimador plug-in de un parámetro tF es definido
por:
ˆ tFˆ
En otras palabras, se estima la función tF de la distribución de probabilidad F
mediante la misma función de distribución empírica F̂ , ˆ tFˆ . Por consiguiente, el
51
principio plug-in es utilizado para la estimación de fk por f̂k .
2.3.2. Estimación bootstrap del error estándar
La estimación del error estándar mediante bootstrap tiene la ventaja de ser
completamente automático, debido a que no requiere de cálculos teóricos. Los métodos
bootstrap dependen de la noción de muestra bootstrap. Si F̂ es la distribución empírica
con probabilidad 1 n para cada valor observado xi donde i 1,2,...,n , la muestra
bootstrap será definida como una muestra aleatoria de tamaño n obtenida a partir de F̂
, es decir:
ˆ * * *F X x1 , x2 ,..., *xn
*
De modo que, por cada conjunto de datos bootstrap X se obtiene una replicación
bootstrap de ̂ , es decir:
ˆ* *sX
La estimación *s X es el resultado de aplicar la función sX * a X . En consecuencia,
el estimador bootstrap de seF ̂ , es el estimador plug-in que usa la función de
distribución empírica F̂ en lugar de la desconocida distribución F , donde seF ̂ es
el error estándar de una estadística ̂ . Específicamente dicho estimador bootstrap seria
definido por:
seF ̂ *
Por lo tanto, el algoritmo bootstrap para la estimación del error estándar es el siguiente:
• Seleccionar B muestras bootstrap independientes *1 *2 *BX , X ,..., X , cada una
compuesta por n valores obtenidas con reemplazo de X .
• Evaluar las replicaciones bootstrap correspondiente a cada muestra bootstrap
ˆ*b s *BX , donde b 1,2,...,B .
• Estimar el error estándar sêB ̂ para la muestra mediante la desviación estándar
de las B replicaciones:
52
B
ˆ* *b 2.
sê b1B
B 1
donde,
B
*.ˆ*b B
b1
*1X ˆ*(1) *1s X
2*2 B
F̂ X
ˆ*(2) *2s X ˆ*( ) * b (.)
. se b1B
. B 1
.
*B ˆ*( ) *BX B s X
Figura 2.4: Estimación bootstrap del error estándar (Efron y Tibshirani, 1993)
El límite de sêB, a medida que B tiende al infinito, tiende al estimador bootstrap ideal
de seF ̂ :
lim sê ˆ ˆ*se
B B Fˆ
En consecuencia, en el caso que B tienda a una cantidad infinita, el estimador sêB
converge a se ˆ . Esta situación es equivalente al caso que una desviación estándar F
empírica tiende a la desviación estándar poblacional a medida que el tamaño de muestra
aumenta. La “población” en este caso es la población de valores ˆ* s *X .
El estimador bootstrap ideal seF ̂ * y su aproximación sêB son conocidos también
como estimadores bootstrap no paramétricos, porque ellos son obtenidos basados en F̂ ,
el estimador no paramétrico de la población F .
2.3.3. Aplicación del bootstrap en regresión
El bootstrap se puede aplicar a modelos de regresión general que no tienen una solución
matemática directa, es decir, donde la función de regresión es no lineal en los parámetros
y donde usamos métodos de estimación diferentes al de mínimos cuadrados.
53
En el caso de la regresión lineal, en el cual tenemos n puntos z1, z2 ,..., zn , donde cada
z i está definida por la coordenada ci , yi , el modelo de probabilidad de z , denotado
por P z , está compuesto por dos factores (Efron y Tibshirani, 1993):
P , F
Donde es el vector de parámetros de los coeficientes de regresión, y F es la
distribución de probabilidad del error. El algoritmo general bootstrap requiere que se
estime P . En principio es posible calcular ̂ , mediante los estimadores mínimos
cuadrados, pero ¿cómo estimamos F ? Si fuera conocido se podría calcular los
errores i yi ci para i 1,2,...,n y estimar F .por su distribución empírica.
De tal forma que, al no conocerse , se utiliza ̂ para calcular los errores aproximados
(residuales):
ˆi yi ciˆ
Donde ci es un vector 1 p , ci c i1,ci2 ,...,cip llamado el vector predictor o vector de
covariables, mientras que yi es un número real de la variable de respuesta.
Por otro lado, la estimación de F parte de la distribución empírica de los errores ̂ i , es
decir:
1
F̂ : probabilidad en ̂ i para i 1,2,...,n
n
Teniendo Pˆ ˆ, Fˆ , se conoce que para calcular los estimadores bootstrap con el
*
conjunto de datos para el modelo de regresión lineal Pˆ z , significa lo mismo que si
fuera P z . Para generar *z , primero se selecciona una muestra aleatoria de
residuales:
Fˆ *1 , *2 ,..., *n *
*
Cada i equivale a algún error de los n valores con distribución de probabilidad F̂ .
54
* * , * ,..., *El conjunto de datos bootstrap estaría conformado por Z z1 z2 zn , donde
* * *zi ci , yi . Entonces, la respuesta bootstrap y* son generados de la siguiente manera:
*
yi
*
c ˆi i , donde i 1,2,...,n
La estimación bootstrap de mínimos cuadrados es obtenida minimizando la suma de
cuadrados del error para las muestras bootstrap, como se muestra a continuación:
n 2 n 2
* *yi c ˆi min *yi c b i
b
i1 i1
Como resultado de la optimización se obtiene la especificación de ̂ *
ˆ * 1C C C *y
* jj
Un simple cálculo bootstrap brinda una expresión muy cercana para se ˆF j ˆ F G ,
jj
donde G es la matriz de producto interno CC y G es el j-ésimo elemento de la
1
diagonal G . La varianza de ̂ * se especifica como:
var ˆ* C 1C Cvar *y C 1CC
Suponiendo que *y ̂ 2F I , donde I es la matriz identidad, entonces
var ˆ* ˆ 2 1F C C
Por lo tanto, la expresión del estimador bootstrap ideal del error estándar es:
se ˆ* jj j ˆF G
En otras palabras, el estimador bootstrap del error estándar para ̂ j es el mismo
estimador sê j .
55
Capítulo 3: Metodología
Con fines ilustrativos, en la presente investigación se utilizaron la base de datos de tres
estudios de valoración contingente, realizados en el Perú, para mostrar de manera práctica
la obtención de la media, el error estándar y el intervalo de confianza de la DAP mediante
bootstrap, incluyendo además un escenario de análisis donde se balancea la variable
dependiente binaria. En dichos estudios, se utilizó el modelo logit para estimar la
disposición a pagar de la población objetivo, teniendo como supuesto en común la
linealidad de la función indirecta de utilidad.
3.1. Descripción de los estudios y datos utilizados
El primer estudio analizado fue desarrollado por Postigo (2011) para estimar el valor
económico del costo de la contaminación por aguas residuales9, mediante la aplicación
del método de valoración contingente. El segundo estudio fue elaborado por el MINAM
(2013), cuyo contenido consistió en la valoración económica de la disposición a pagar de
los consumidores del agua potable de la localidad de Cañete. Por último, el tercer estudio
se basó en la valoración económica del servicio ambiental hidrológico en la Microcuenca
Quanda en Cajamarca, el cual fue desarrollado en el 2013 dentro del marco del
Diplomado “Valoración Económica de la Biodiversidad y los Servicios de los
Ecosistemas” organizado por la cooperación alemana GIZ y el MINAM.
Valor económico y gestión del agua potable y alcantarillado en el Perú (Postigo, 2011)
Uno de los objetivos del estudio realizado por Postigo (2011) fue la estimación del valor
económico del costo de la contaminación por aguas residuales en Lima, donde el método
elegido para calcular la disposición a pagar fue el método de valoración contingente de
formato binario. La recolección de los datos fue mediante el desarrollo de encuestas, las
cuales se aplicaron el 22, 23, 29 y 30 de agosto del 2008 a un total de 600 personas en el
distrito de Miraflores, exactamente en las playas de las zonas vecinales 1, 2, 3, 4, 9 y 10,
siendo los lugares de mayor concentración de visitantes en los fines de semana.
Para capturar la decisión de los encuestados, se les preguntó si estarían dispuestos a pagar
9 El término “costo” se entendería como el nivel de bienestar que se perdería en la sociedad por la
contaminación de las playas y/o por la afectación de la calidad del agua potable.
56
un determinado monto adicional en el recibo de agua para implementar mejoras técnicas
en los colectores de las playas de Lima, por ejemplo, la construcción y mantenimiento de
una planta de tratamiento. Las respuestas de los encuestados (si o no) de dicha pregunta,
son los valores observados de la variable dependiente del modelo, el cual presenta en
consecuencia una distribución binomial.
La especificación final del modelo logit estimado para obtener el valor económico del
costo de la contaminación de las aguas residuales, presentó las siguientes variables:
• BDAP: Variable binaria que indica el rechazo o la disposición a pagar del
encuestado (0=rechazo, 1=aceptación).
• BID: Variable aleatoria que indica el monto adicional propuesto por el
encuestador, el cual será aceptado o no como pago por la mejora de las
condiciones de las playas (en nuevos soles).
• Ingresos: Variable que indica el ingreso promedio mensual del encuestado (en
nuevos soles).
• Edad: Variable que indica la edad de los encuestados (en años).
• PagoServ: Variable binaria que indica si el encuestado es el que paga los servicios
de la casa (0=no paga, 1=paga).
• N_Adultos: Número de adultos en la casa.
La muestra definitiva utilizada en la estimación del modelo estuvo conformada por 504
observaciones, de los cuales 359 individuos aceptaron pagar un determinado monto para
contribuir a la mejora de las condiciones de los colectores, mientras que 145 no
estuvieron dispuestos a realizar dicho pago.
Los montos que se propusieron para contribuir a la mejora de la calidad ambiental (BID),
mediante la construcción y mantenimiento de una planta de tratamiento, fueron 3, 5, 8,
10, 15, 20, 25 y 30 soles, los cuales se cobrarían cada mes de manera hipotética como un
concepto adicional en el recibo de SEDAPAL, escogiéndose uno de ellos de manera
aleatoria a la hora de encuestar.
57
Finalmente, al estimarse el modelo logit con la especificación antes mencionada, el cual
contó con 504 observaciones y considerando una función indirecta de utilidad lineal, se
obtuvo un valor esperado de 25.56 soles como disposición a pagar.
Diseño e Implementación de un Esquema de Retribución por Servicios Ecosistémicos
Hidrológicos en la Cuenca del Río Cañete (MINAM, 2013)
En el año 2013, el MINAM llevo a cabo un estudio para determinar la DAP de los
consumidores de agua potable, ubicados en las partes bajas de la cuenca del río Cañete,
para aportar a un fondo que invierta en actividades de conservación de la parte alta de la
cuenca. El objetivo del estudio fue justificar el establecimiento de un Mecanismo de
Retribución por Servicios Ecosistémicos (MRSE) en dicha cuenca, con el fin de asegurar
la provisión del recurso hídrico a los usuarios mediante un esquema de financiamiento
para la conservación.
La recolección de los datos fue realizada mediante encuestas, en las localidades de San
Vicente, Cerro Azul, Imperial y San Luis, ubicadas en la región de Ica, siendo dirigidas a
usuarios domésticos y comerciales de agua potable.
El diseño muestral se basó mediante un muestreo estratificado aleatorio con afijación
proporcional de la muestra, dado que no se contó con información disponible de la
dispersión de la población. El criterio de estratificación fue por localidad, a un nivel de
significancia del 95%. Asimismo, la muestra contó con un nivel de error de 8% para
usuarios domésticos y 10% para usuarios comerciales, con conexiones de acueducto
registrados ante la EMAPA Cañete. El tamaño de la muestra resultante fue de 591
hogares y 87 establecimientos comerciales.
En el estudio, se especificaron dos modelos, uno considerando los usuarios domésticos y
el otro con los usuarios comerciales. Para la presente investigación, se tomó en cuenta la
base de datos correspondiente a los usuarios domésticos. El modelo logit estimado para
calcular la DAP de los usuarios domésticos fue realizado con 470 observaciones. Las
variables explicativas del modelo fueron las siguientes:
58
• MONTO: Variable aleatoria que indica el monto adicional propuesto por el
encuestador, el cual será aceptado o no como pago para contribuir al fondo para la
conservación de la parte alta de la cuenca del rio Cañete (en nuevos soles).
• Visit.PA: Variable binaria que indica si el encuestado ha visitado la parte alta de la
cuenca del rio Cañete.
• Afecta.PB: Variable binaria que indica la amenaza identificada en la parte alta de
la cuenca que afecta a la parte baja.
• Calidad: Variable con rango de 0 a 1 que indica calidad/cantidad/oportunidad del
suministro.
• Suminist: Variable binaria que indica si el encuestado piensa que en el futuro
habrá problemas con el suministro.
• Fuentes: Variable binaria que indica si el encuestado piensa que en el futuro habrá
problemas con las fuentes.
• Tanque: Variable binaria que indica que el encuestado posee tanque.
• Filtro: Variable binaria que indica que el encuestado posee filtro.
• Agua: Variable que indica si el encuestado compra agua.
• Benef: Variable binaria que indica si el encuestado considera que se beneficia del
agua de la parte alta.
• EDU (años): Variable que señala el número de años de educación de los
encuestados.
• Personas: Variable que indica el número de personas que viven en el hogar.
• Trabajan: Variable que señala el porcentaje de los miembros del hogar que tienen
empleo.
Según los resultados obtenidos en el estudio, la disposición a pagar promedio de los
usuarios domésticos alcanzó el valor de 5.04 soles por mes; dicho valor fue obtenido
aplicando el método de valoración contingente de formato binario, el cual se basó en la
estimación del modelo logit asumiendo una función de utilidad indirecta de forma lineal.
59
Valoración Económica del Servicio Ambiental Hidrológico en la Microcuenca Quanda,
Cajamarca (Vásquez, Julón y Arias, 2013)
El principal objetivo del estudio fue valorar económicamente los bienes y servicios
ambientales Hidrológicos en la Microcuenca Quanda, para lo cual se estimó la
disposición a pagar de sus habitantes por los beneficios obtenidos por la provisión de
agua para consumo y generación de energía eléctrica. Para el cálculo de la disposición a
pagar, se aplicó el método de valoración contingente de formato binario.
Mediante un diseño muestral aleatorio, se obtuvo un tamaño de muestra de 145 familias a
encuestar en los centros poblados y caseríos que constituyen el área de influencia de la
microcuenca Quanda, considerándose una población de 500 familias. El cuestionario se
aplicó a un total de 145 habitantes de la cuenca, considerándose un error del 5% con un
nivel de confianza de 95%.
Las entrevistas personales tuvieron lugar entre abril y junio del 2013 y se realizaron en su
mayoría durante los fines de semana, siendo días en que los pobladores de la cuenca
tienen mayor disponibilidad de tiempo. La especificación del modelo logit que se utilizó
para calcular la disposición a pagar contó con las siguientes variables explicativas:
• MONTO: Variable aleatoria que indica el número de días a colaborar propuesto
por el encuestador, el cual será aceptado o no como pago para contribuir con las
labores de conservación (en días).
• SEXO: Variable binaria que indica el género del encuestado (1=masculino;
0=femenino).
• EDUC: Variable que indica el nivel educativo alcanzado por el encuestado
• IM: Variable que señala los ingresos mensuales del encuestado.
Para estimar los coeficientes logit, se consideraron 120 observaciones y se asumió
linealidad en la función indirecta de utilidad. Se obtuvo como resultado un valor
promedio 18 días al año para realizar labores de conservación como medida de DAP,
denominándose en el estudio Disposición a Colaborar (DAC).
60
3.2. Procedimiento de análisis
En esta investigación, el procedimiento de análisis consistió en estimar los coeficientes de
regresión de los modelos logit que se especificaron en los tres estudios de referencia, con
la inclusión de dos escenarios adicionales respecto a lo planteado originalmente en los
estudios. Asimismo, al tener los coeficientes estimados, se procedió también a calcular la
DAP de los servicios ambientales referenciados en los estudios.
La estimación de los coeficientes se realizó en tres escenarios: (1) utilizando el modelo
logit especificado en los estudios originales, (2) aplicando el método bootstrap para
estimar los coeficientes logit, y (3) incorporando el balanceo de datos en la variable
dependiente dentro de la estimación bootstrap de los coeficientes logit.
Así, bajo los tres escenarios, al obtener los coeficientes estimados se procedió a calcular
el valor de la DAP promedio. Además, para los escenarios donde se aplicó el método
bootstrap, se calculó también el error estándar de la DAP. De manera complementaria, se
estimó en cada modelo logit el pseudo R cuadrado de McFadden, al igual que su error
estándar bootstrap.
En el primer escenario (modelo 1) se utilizó la misma especificación de los modelos logit
estimados en los estudios de referencia, por lo que, los coeficientes de regresión
calculados en el presente escenario, y en consecuencia la DAP promedio, son iguales a
los que se presentan en los estudios originales.
En el segundo escenario (modelo 2) se utilizó la misma especificación funcional de los
modelos logit estimados en el modelo 1, con la particularidad que los coeficientes de
regresión fueron estimados mediante el método bootstrap. En consecuencia, se procedió a
calcular la DAP promedio y su error estándar bootstrap.
En el tercer escenario (modelo 3), al igual que el segundo escenario, se estimaron los
coeficientes de los modelos logit aplicando el método bootstrap, pero con la
particularidad de incorporar un criterio adicional en el remuestreo bootstrap, el cual
consiste en seleccionar aleatoriamente submuestras bootstrap donde variable dependiente
se encuentre balanceada.
61
El proceso del balanceo de la variable dependiente, dentro del algoritmo bootstrap,
presentó la siguiente secuencia:
a) Definir la cantidad de observaciones que presenta cada categoría (1 y 0) de la
variable dependiente binaria.
b) Identificar cuál categoría es la que presenta menor cantidad de observaciones.
c) Generar aleatoriamente B submuestras sin reemplazo a partir de las
observaciones que presenten, en la variable dependiente, la categoría con mayor
participación. El número de filas de cada submuestra es determinado por la
cantidad de observaciones que se obtiene en b).
d) Para cada submuestra obtenida en c), se le añade las observaciones
correspondientes a la categoría identificada en el punto b). Por lo tanto, se
obtienen B muestras balanceadas a nivel de categoría o valor de la variable
dependiente binaria.
e) Finalmente, teniendo las B muestras balanceadas, se procede a estimar los
coeficientes bootstrap del modelo logit y, en consecuencia, el promedio y el error
estándar de la DAP.
Por ejemplo, si se tiene una base de datos de un estudio tipo referéndum con 100
observaciones, un proceso hipotético de balanceo (asumiendo 500 muestras bootstrap)
podría representarse de la siguiente manera:
a) Al revisar la base de datos, se observa que existen 70 observaciones con valor 1 en
la variable dependiente binaria, mientras que las 30 observaciones restantes
presentaron el valor de 0.
b) Se identifica entonces que la categoría con menor participación presenta 30
observaciones.
c) Se generan aleatoriamente 500 submuestras sin reemplazo de las 70
observaciones que presentan valor 1 en la variable dependiente binaria,
considerando para ello un tamaño de submuestra de 30 observaciones.
d) A cada una de las 500 submuestras generadas, las cuales tienen 30 observaciones
con valores de 1 en la variable dependiente, se le agregan las 30 observaciones
identificadas inicialmente con valores de 0.
62
e) Finalmente, al tener las 500 muestras con 60 observaciones, donde la variable
dependiente se encuentra balanceada, se procede a estimar los coeficientes
bootstrap del modelo logit.
La metodología para estimar el promedio y el error estándar de la DAP, bajo el enfoque
de la valoración contingente de formato binario, se detalla de manera resumida en la
sección 3.3 del presente capítulo, donde se expone la formulación del cálculo incluyendo
la especificación logit y además el método bootstrap para obtener el error estándar de la
DAP.
La estimación de los distintos parámetros realizados en la presente investigación, se
programaron a través del software libre R (versión 3.2.2)10. El comando utilizado para
estimar el modelo logit fue la función glm(), para lo cual se tiene que especificar el
argumento family=binomial(link="logit").
Asimismo, en el Anexo A.1 se muestran los códigos programados para estimar los
coeficientes del modelo logit mediante el método bootstrap, tanto para el segundo y tercer
escenario de evaluación (modelos 2 y 3). En dichos escenarios, los parámetros derivados
de los coeficientes de regresión, tales como su error estándar, el z-calculado y el p-valor,
fueron calculados también mediante el método bootstrap.
3.3. Modelamiento y estimación
Los datos utilizados para hacer las estimaciones en la presente investigación, parten de
los estudios mencionados en la sección 3.1, los cuales tienen la particularidad de haber
utilizado el método de valoración contingente de formato binario para las estimaciones de
la disposición a pagar en cada caso. Con la información de dichos estudios se replicó los
cálculos obtenidos y se contrastó con los resultados de los parámetros estimados al incluir
el bootstrap en los modelos logit.
Al respecto, siguiendo el planteamiento de Hanemann (1984), se asume que un individuo
o agente económico presenta una determina función de utilidad indirecta vy,Q,S ,
10 R Core Team (2015). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation
for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL: .
63
donde y es el nivel de ingreso, Q la calidad ambiental y S otros atributos observables.
Si se considera Q como una variable categórica, donde:
1 , calidad o mejora ambiental
Q
0 , ausencia de calidad ambiental
Las funciones de utilidad se pueden expresar de la siguiente manera,
v1 vy,1,S , si se dispone de la calidad ambiental
v0 vy,0,S , en caso contrario
Asimismo, bajo el supuesto de agentes económicos racionales, y teniendo las demás
variables constantes (ceteris paribus), se puede afirmar que es preferible la existencia de
calidad ambiental. Por ello, dicha preferencia se puede representar de la siguiente
manera:
vy,1,S vy,0,S
Al agregar una variable adicional Bt, referida a la cantidad de pago individual necesario
para lograr la mejora ambiental, y considerando un término estocástico i ~ N 0, , la
función de utilidad la podemos expresar como:
v1 vy Bt ,1, S 1 , si se acepta
v0 vy,0,S 0 , si se rechaza
Por lo tanto, un individuo aceptará realizar un pago �� por la mejora ambiental si:
vy Bt ,1, S vy,0, S 0 1
Si definimos,
0 1
64
v vy Bt ,1,S vy,0,S
y tenemos en cuenta que
1 , aceptar el pago Bt
BDAP
0 , rechazar el pago Bt
Entonces, la probabilidad de aceptar el pago se define como:
PBDAP 1 Pv
Si se asume que la forma funcional de la utilidad v es lineal, tenemos que:
vy Bt ,1, S 1 y Bt 1S 1
vy,0, S 0 y 0 S 0
En consecuencia, el diferencial de utilidad se puede expresar como:
v 1 0 Bt 1 0 S Bt S
Al despejar Bt, y asumiendo que v 0 , se obtendría la valoración económica C que
un individuo le asigna a un determinado bien o servicio (p. ej. calidad ambiental), el cual
se expresa como:
S
C
(3.1)
Siendo la ecuación (3.1) una expresión ampliada de la fórmula mostrada en la ecuación
(2.6).
Si se asume que la función de utilidad indirecta de un individuo está en función de k
atributos observables, es decir v y,Q, S1, S2 ,..., Sk , se puede obtener la expresión
generalizada de la ecuación (3.1), donde la disposición a pagar C dado el individuo i
se expresa como:
65
1S1i S SC 2 2i k ki (3.2) i
Donde i 1,2,...,n , siendo n el número de individuos encuestados.
Además, si se define p como la probabilidad de aceptar el pago Bt, es decir Pv
, y se asume una forma funcional logística, tenemos que:
1 1
pi 1 v Ce 1 e i 1S1i 2S2i k Ski
Reordenando, obtenemos la siguiente especificación:
p
ln i Ci 1S1i S S (3.3) 2 2i k ki1 pi
En consecuencia, teniendo en cuenta la especificación de la ecuación (3.3), la estimación
de los parámetros α, β, 1 ,…, k se puede realizar mediante un modelo de regresión
logística o logit.
Retomando la ecuación (3.2), el valor esperado de la disposición a pagar (DAP),
considerando los parámetros estimados del modelo logit, tendría la siguiente expresión:
k
ˆ ˆ jES j
j1DAP E C
ˆ (3.4)
Por lo tanto, si se considera b muestras bootstrap y redefinimos β como el vector de
coeficientes logit y X como la matriz de variables explicativas, el cálculo de la DAP
b *
bootstrap se obtiene mediante EC i b , donde *ECi es el valor esperado de la i1
DAP por cada muestra bootstrap, i 1,2,...,b , tal como se muestra en la Figura 3.1.
66
ˆ * * *
(1) EC1 f X ,ˆ1
BDAP, X ˆ * * *(2) EC b *2 f X ,ˆ2 EC* i
. DAP ̂ . . .
. . i1
b
ˆ * * EC b f X ,ˆ* (b) b
Figura 3.1. Cálculo de la DAP aplicando bootstrapping
En consecuencia, siguiendo lo expuesto en la Figura 3.1, la expresión del error estándar
de la DAP tendría la siguiente forma:
b
*E C * 2i DAP
*
se i1
(3.5)
DAP
b 1
En ese sentido, considerando los datos de las encuestas de los estudios analizados, se
estimaron tres tipos de modelos logit, los cuales se describen a continuación11:
• El primer modelo consiste en simplemente replicar los resultados obtenidos del
estudio original, utilizando la misma muestra y especificación (Modelo 1).
• El segundo modelo consiste en aplicar el método bootstrap al modelo logit para
estimar la disposición a pagar bootstrap *DAP y su error estándar se*DAP
(Modelo 2).
• El tercer modelo, al igual que el segundo, consiste en aplicar el método bootstrap
en el modelo logit para estimar *DAP y se*DAP , pero con la particularidad de
trabajar con muestras aleatoriamente balanceadas, generando que la variable
dependiente tenga el mismo número de respuestas afirmativas y negativas
(Modelo 3).
11 Como se mencionó en la sección 3.2, los procesos de estimación de los modelos logit con
bootstrapping, fueron programadas utilizando el software R (ver Anexo A.1).
67
Capítulo 4: Resultados
Como se mencionó en el capítulo anterior, se estimaron tres modelos por cada muestra
obtenida de los estudios analizados. En primer lugar, se estimó un modelo logit con la
misma especificación encontrada en los estudios con el objetivo de replicar los resultados
obtenidos en cada uno de ellos. Adicionalmente, se aplicó el bootstrap (con 10,000
réplicas) para estimar distintos parámetros de los modelos logit especificados, primero
utilizando la muestra original de los estudios, y después, con una submuestra
seleccionada aleatoriamente en donde la variable dependiente esté balanceada, es decir,
con la misma cantidad de valores 0 y 1.
Cuadro 4.1. Modelos logit estimados utilizando los datos de Postigo (2011)
Logit con Boostrapping
Variables Modelo 1
Modelo 2 Modelo 3
BID -0.1021*** -0.1037*** -0.1040***
(0.0126) (0.0128) (0.0089)
Edad -0.0240** -0.0244* -0.0263***
(0.0093) (0.0096) (0.0069)
Ingresos 0.0001* 0.0001* 0.0001***
(0.0001) (0.0001) (0.0000)
PagoServ -0.4929* -0.5039* -0.3657**
(0.2407) (0.2489) (0.1510)
N_Adultos -0.2237** -0.2267** -0.2394***
(0.0742) (0.0766) (0.0531)
Constante 4.1389*** 4.2035*** 3.3698***
(0.5785) (0.5615) (0.3762)
Número de observaciones 504 504 292
Muestras bootstrap - 10,000 10,000
Proporción binaria (BDAP=1) 0.71 - 0.50
DAP promedio 25.5558 25.6989 16.0370
Error estándar - (1.5521) (0.3004)
Pseudo R2 McFadden 0.1676 0.1761 0.1785
Error estándar - (0.0302) (0.0208)
Clasificación correcta 0.6925 0.6944 0.6793
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Desviación estándar o error estándar en paréntesis ( )
Elaboración Propia
68
Según las estimaciones obtenidas utilizando los datos de Postigo (2011), se encontró que
la DAP resultante alcanzó los 25.56 nuevos soles en el modelo sin bootstrap, presentando
un valor de pseudo R cuadrado de McFadden de 0.1676. La data contó con 504
observaciones, de las cuales 359 presentaron en la variable dependiente el valor de 1; es
decir, el 71% de individuos encuestados respondieron afirmativamente la pregunta de
aceptar realizar un pago adicional para mejorar las condiciones de los colectores en las
playas.
Sin embargo, el modelo base estimado no permite evaluar la variabilidad de la DAP,
limitando el análisis predictivo de los resultados. En ese sentido, al aplicarse bootstrap en
las estimaciones de los modelos logit, posibilita el cálculo del error estándar de la DAP, e
incluso del pseudo R cuadrado de McFadden. Aplicando bootstrap, se observó que la
DAP estimada alcanzó los 25.70 nuevos soles, con un error estándar de 1.5521.
Asimismo, el modelo presenta un valor de pseudo R cuadrado de McFadden de 0.1761,
con un error estándar de 0.0302.
Como se muestra en la Cuadro 4.1, si bien los resultados obtenidos de los dos primeros
modelos estimados son muy similares, al incluirse el balanceado en la variable
dependiente dentro del análisis bootstrap, generaría cambios importantes en las
estimaciones. El valor estimado de la DAP, aplicando el modelo logit con bootstrap
balanceado, alcanzó los 16.04 nuevos soles, con un error estándar de 0.3004. Además, se
verificó que dicho modelo presenta un valor de pseudo R cuadrado de McFadden de
0.1785, con un error estándar de 0.0208.
Por otro lado, los datos del estudio del MINAM (2013) contó con 470 observaciones, de
las cuales 378 presentaron en la variable dependiente el valor de 1; es decir, el 74% de
individuos encuestados (usuarios domésticos) respondieron afirmativamente la pregunta
de aceptar el pago de un aporte para establecer un fondo para la conservación de la parte
alta de la cuenca del rio Cañete. De acuerdo a los resultados del estudio, el valor estimado
de la DAP alcanzó los 5.05 nuevos soles para los usuarios domésticos de agua potable.
69
Cuadro 4.2. Modelos logit estimados utilizando los datos de MINAM (2013)
Logit con Boostrapping
Variables Modelo 1
Modelo 2 Modelo 3
MONTO -0.5825*** -0.6157*** -0.6273***
(0.0838) (0.0935) (0.0710)
Visit.PA -0.0812 -0.0805 -0.1405
(0.2513) (0.2729) (0.1918)
Afecta.PB 0.6154 0.6464 0.6793*
(0.3607) (0.3829) (0.3185)
Calidad -0.4497 -0.4796 -0.4237
(0.5291) (0.5923) (0.4651)
Suminist 0.5885* 0.6357* 0.6513***
(0.2528) (0.2734) (0.1903)
Fuentes -0.5558 -0.5976 -0.5991*
(0.3164) (0.3359) (0.2374)
Tanque 0.0072 0.0227 0.0197
(0.3714) (0.3926) (0.2933)
Filtro 0.279 0.3319 0.224
(0.4969) (0.6983) (0.4219)
Agua 0.279 0.3903 0.1982
(0.2173) (0.4842) (0.1509)
Benef -0.0192 -0.0208 0.0345
(0.2475) (0.2671) (0.1918)
Edad -0.0243** -0.0255** -0.0283***
(0.0087) (0.0097) (0.0071)
Sexo 0.3289 0.3630 0.322
(0.2632) (0.2764) (0.2018)
EDU (años) 0.0699* 0.0740* 0.0723**
(0.0297) (0.0352) (0.0250)
Personas -0.0523 -0.0525 -0.0907*
(0.0527) (0.0652) (0.0453)
Trabajan 0.184 0.2163 0.0906
(0.5335) (0.6148) (0.4019)
Constante 2.8124*** 2.9180** 2.2040**
(0.8223) (0.9418) (0.6796)
Número de observaciones 470 470 244
Muestras bootstrap - 10,000 10,000
Proporción binaria (BDAP=1) 0.74 - 0.50
DAP promedio 5.0460 5.1039 3.0751
Error estándar - (0.3914) (0.0597)
Pseudo R2 McFadden 0.1629 0.1940 0.1953
Error estándar - (0.0338) (0.0274)
Clasificación correcta 0.7213 0.7213 0.7254
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Desviación estándar o error estándar en paréntesis ( )
Elaboración Propia
Como se muestra en el Cuadro 4.2, la DAP estimada mediante bootstrap alcanzó los 5.10
nuevos soles, con un error estándar 0.3914; además, dicho modelo presenta un valor de
pseudo R cuadrado de McFadden de 0.1940, con un error estándar de 0.0338. De la
misma manera, el valor de la DAP ascendió a 3.08 nuevos soles cuando se aplicó el
70
bootstrap con muestras balanceadas, presentando un error estándar de 0.0597. Asimismo,
el modelo presenta un valor de pseudo R cuadrado de McFadden de 0.1953, con un error
estándar de 0.0274.
Adicionalmente, se pudo verificar que las variables Afecta.PB, Fuentes y Personas
pasaron a ser estadísticamente significativas cuando se utilizó el bootstrap con datos
balanceados en el modelo logit. En ese sentido, al incluirse el bootstrap con balanceo en
el modelo especificado en el estudio del MINAM (2013), ocasionó que se presenten
mayores variables explicativas estadísticamente significativas.
Cuadro 4.3. Modelos logit estimados utilizando los datos de Vásquez et al (2013)
Logit con Boostrapping
Variables Modelo 1
Modelo 2 Modelo 3
MONTO -0.2137*** -0.228*** -0.2146***
(0.0381) (0.0437) (0.0225)
SEXO -0.5575 -0.5847 -0.5493
(0.6999) (0.7695) (0.4492)
EDUC 0.1988 0.2199 0.2113*
(0.1717) (0.1830) (0.0929)
IM -0.3565 -0.4393 -0.4876
(0.5963) (0.6361) (0.3375)
Constante 4.2577* 4.6751* 3.8905***
(1.8291) (1.9849) (1.0809)
Número de observaciones 120 120 82
Muestras bootstrap - 10,000 10,000
Proporción binaria (BDAP=1) 0.66 - 0.50
DAP promedio 18.0043 18.0595 14.7757
Error estándar - (1.3506) (0.4567)
Pseudo R2 McFadden 0.3507 0.3773 0.3615
Error estándar - (0.0792) (0.0435)
Clasificación correcta 0.7583 0.7583 0.7927
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Desviación estándar o error estándar en paréntesis ( )
Elaboración Propia
Finalmente, en el Cuadro 4.3 se muestra los resultados de las estimaciones utilizando los
datos del estudio de Vásquez, Julón y Arias (2013). Según los resultados del estudio, el
valor de la DAP ascendió a 18 días por año (disposición a colaborar), tal como se muestra
en las estimaciones propias utilizando la misma especificación y base del estudio.
71
Al respecto, los datos contaron con 120 observaciones, de los cuales 79 presentaron el
valor de 1 en la variable dependiente; es decir, el 66% de individuos encuestados
respondieron afirmativamente la pregunta de aceptar realizar labores de conservación de
la Microcuenca Quanda. De acuerdo a los resultados, se observa que la DAP estimada
mediante bootstrap alcanza los 18.06 días por año, con un error estándar 1.3506.
Asimismo, el modelo presenta un valor de pseudo R cuadrado de McFadden de 0.3773,
con un error estándar de 0.0792.
Por otro lado, se observa que los resultados obtenidos aplicando el método bootstrap con
datos balanceados presenta un valor de DAP equivalente a 14.78 días al año, con un error
estándar de 0.4567. Además, dicho modelo presenta un valor de pseudo R cuadrado de
McFadden de 0.3615, con un error estándar de 0.0435.
Asimismo, al tener los valores estimados de las replicaciones bootstrap de la DAP, se
puede obtener de manera directa el intervalo de confianza de la DAP por cada estudio
analizado. En el Cuadro 4.4 se muestra las estimaciones realizadas de los intervalos de
confianza aplicando bootstrapping, incluido en el escenario balanceado, a través del
método estándar12 y el método de percentiles13 (ver Efron y Tibshirani, 1993).
12 Efron y Tibshirani (1993) lo denominan como confidence intervals based on bootstrap
“table”. Para calcular dicho intervalo de confianza se aplicó la siguiente fórmula:
IC * *DAP DAP�̂ z seDAP 1 2 13 Si definimos ���∗ como la distribución empírica acumulada de los estimados DAP
bootstrap, el intervalo de confianza tendrá la siguiente expresión:
ˆ 1 ; ˆ 1 IC DAP FDAP* F 1 2 DAP
*
2
72
Cuadro 4.4. Intervalos de confianza bootstrap de la DAP por estudio
Intervalos de confianza de la DAP
Estudio Método bootstrap [LI; LS]
Modelo 2 Modelo 3
1/ [22.6568; 28.7411] [15.4483; 16.6256]
Postigo ME
(2011)
MP [2.5%; 97.5%] [22.9807; 29.0948] [15.4357; 16.6104]
1/ [4.3367; 5.8710] [2.9581; 3.1921]
MINAM ME
(2013)
MP [2.5%; 97.5%] [4.5012; 5.9564] [2.9588; 3.1927]
1/
ME [15.4125; 20.7066] [13.8806; 15.6708]Vásquez et al
(2013)
MP [2.5%; 97.5%] [15.5409; 20.9009] [13.8041; 15.5890]
ME=Método estándar, MP=Método de percentiles, LI=Límite inf�erior, LS=Límite superior 1/ El z-tabular se obtuvo considerando un nivel de significación ( ) del 5%.
Elaboración propia
Como se observa en el Cuadro 4.4, en el modelo 3 los intervalos de confianza bootstrap
de la DAP presentan un menor rango comparado con los resultados obtenidos en el
modelo 2. Esto parte del hecho que, como se mostró en los Cuadros 4.1, 4.2 y 4.3, al
trabajar con datos balanceados, el error estándar de la DAP es menor comparado con los
resultados del modelo 2.
En consecuencia, la menor variabilidad obtenida en la estimación de la DAP mediante el
balanceo de los datos, se traduce también en intervalos de confianza bootstrap con menor
distancia dentro del rango de estimación. En otras palabras, al presentarse un menor error
estándar de la DAP, el rango del intervalo de confianza es más acotado alrededor del
valor promedio.
73
Conclusiones
Teniendo en consideración los resultados obtenidos de las estimaciones del presente
estudio, se puede concluir que:
• Al incorporarse el criterio de remuestreo aleatorio con submuestras balanceadas,
los coeficientes bootstrap estimados del modelo logit presentarían una mayor
significancia estadística, en contraste a la estimación usando los datos originales.
• El promedio estimado de la DAP sería menor cuando se aplica un modelo logit
con datos balanceados14. Así pues, al presentarse una base de datos con una
participación mayoritaria de respuestas afirmativas, y asumiendo que parte
importante fueron contestadas sin internalizar el escenario hipotético, se tendría
como resultado una sobreestimación de la DAP15.
• Asimismo, el error estándar de la DAP sería menor en caso se incorpore el
balanceo de datos en la variable dependiente dentro del proceso de estimación
bootstrap del modelo logit.
• Por tanto, se puede concluir que en los casos donde parte importante de las
respuestas afirmativas son contestadas sin internalizar el escenario hipotético
planteado, la DAP promedio resultante del modelo de valoración contingente
estaría sobreestimada y con mayor variabilidad (en caso que las respuestas
afirmativas tengan una participación mayoritaria).
14 Cuando una muestra presenta una mayor cantidad de 1’s que 0’s en la variable dependiente
binaria (muestra desbalanceada), la DAP estimada a partir de dicha información será mayor si se
compara con los resultados obtenidos en un escenario balanceado.
15 Al aplicarse la Prueba de Permutación (Fisher, 1935) con 1,000 réplicas para los tres estudios
analizados, se confirma (con un p-value < 0) que la media y la varianza de la DAP estimados
mediante un modelo logit con bootstrap, son menores cuando se incluye el balanceo de datos en la
variable dependiente binaria. Para mayor detalle del código programado, ver Anexo 1.
74
Referencias Bibliográficas
[1] Ardila, S. (1993). Guía para la utilización de modelos econométricos en aplicaciones del
método de valoración contingente. Environment Protection Division, Working Paper
ENP101. Washington DC: InterAmerican Development Bank.
[2] Bishop, R., Heberlein, T. (1979). Measuring of extra market goods: are indirect
measures biased. American Journal of Agricultural Economics, 61 (5): 1-15.
[3] Brown, T., Azjen, I., Hrubes, D. (2003). Further tests of entreaties to avoid hypothetical
bias in referendum contingent valuation. Journal of Environmental Economics and
Management, 46 (2): 353-361.
[4] Cameron, T. (1988). A new paradigma for valuing non-market goods using referendum
data. Journal of Environmental Economics and Management, 15 (3): 355-79.
[5] Cameron, T. (1991). Interval estimates of non-market resource values from referendum
contingent valuation surveys. Land Economics, 67 (4): 413-412.
[6] Cameron, T., James, M. (1987). Efficient estimation methods for closed-ended
contingent valuation surveys. The Review of Economics and Statistics, 69 (2): 269-276.
[7] Casella, G., Berger, R.L. (2002). Statistical inference. Second edition. Duxbury
Press/Thomson Learning, Pacific Grove, CA.
[8] Champ, P., Bishop, R. (2001). Donation payment mechanisms and contingent valuation:
an empirical study of hypothetical bias. Environmental and Resource Economics, 9 (4):
383-402.
[9] Ciriacy-Wantrup, S. (1947). Capital returns from soil-conservation practices. Journal of
farm Economics, 29 (4): 1181-1196.
[10] Cooper, J.C. (1994). A comparison of approaches to calculating confidence interval for
benefits measures from dichotomous choice contingent valuation surveys. Land
Economics, 70 (1): 111-122.
[11] Cummings, R., Taylor, L. (1999). Unbiased value estimates for environmental goods: a
cheap talk design for the contingent valuation method. American Economic Review, 89
(3): 649-665.
75
[12] Davis, R. (1963). The value of outdoor recreation: an economic study of the Maine
Woods. Ph.D. Dissertation, Harvard University.
[13] Demétrio, C. (2001). Modelos lineares generalizados em experimentação agronômica.
ESALQ/USP – Piracicaba.
[14] Dobson, A. (2002). An introduction to generalized linear models. Second edition.
Chapman & Hall/ CRC Press Company.
[15] Efron, B. (1979). Bootstrap methods: another look at the jackknife. The Annals of
Statistics, 7 (1): 1-26.
[16] Efron, B., Tibshirani, R. (1993). An introduction to the bootstrap. Chapman & Hall/
CRC Press Company.
[17] Fisher, R.A. (1935). The design of experiments. Third edition. Oliver & Boyd, London.
[18] Hanemann, W.M. (1984). Welfare Evaluation in Contingent Valuation Experiments
with Discrete Responses. American Journal of Agricultural Economics, 66 (3): 332-341.
[19] Hanemann, W.M., Kanninen, B. (1999). “The statistical analysis of discrete-response
CV data”, en I. Bateman y K. Willis (eds.), Valuing environmental preferences. Theory
and Practice of the CVM in the US, EU and Developing Countries, Oxford University
Press.
[20] Hilbe, J.M. (2009). Logistic regression models. Chapman and Hall/CRC.
[21] Hilbe, J.M. (2015). Practical guide to logistic regression. Chapman and Hall/CRC.
[22] Kendall, M., Stuart, A. (1969). The advanced theory of statistics - distribution theory.
Third edition. New York: Hafner.
[23] King, G., Zeng, L. (2001). Logistic regression in rate events data. Society for Political
Methodology. Political Analysis, 9 (2): 137-163.
[24] Krinsky, I., Robb, A. (1986). On approximating the statistical properties of elasticities.
Review of Economic and Statistics, 68 (2): 715-719.
[25] Kotchen, M., Reiling, S. (2000). Environmental attitudes, motivations, and contingent
valuation of nonuse values: a case study involving endangered species. Ecological
Economics, 32 (1): 93-107.
76
[26] Labandeira, X., León, C., Vázquez, M. (2007). Economía ambiental. Pearson
Educación, S.A., Madrid.
[27] List, J. (2001). Do explicit warnings eliminate the hypothetical bias in elicitation
procedures? Evidence from field auction experiments. American Economic Review, 91
(5): 1498-1507.
[28] Lusk, J. (2003). Effects of cheap talk on consumer willingness-to-pay for golden rice.
American Journal of Agricultural Economics, 85 (4): 840-856.
[29] Maddala, G. (1983). Limited-dependent and qualitative variables in econometrics.
Cambridge University Press.
[30] Maturana, J., Pintado, M. (2013) Validación metodológica del “cheap talk” y su
aplicación en la valoración económica por la reducción de gases efecto invernadero en
Perú. Panorama Socioeconómico, 31 (46): 2-13.
[31] McConnell, K.E. (1990). Models for referendum data: the structure of discrete choice
models for contingent valuation. Journal of Environmental Economics and
Management, 18 (1): 19-34.
[32] McCullagh, P., Nelder, J. (1989). Generalized linear models. Second Edition, Chapman
and Hall, London.
[33] McFadden, D. (1973). Conditional logit analysis of qualitative choice behavior.
Frontiers in Econometrics, 105-142, Academic Press: New York.
[34] McLeod, D., Bergland, O. (1989). The use of bootstrapping in contingent valuation
studies. Working Paper, Department of Agricultural Economics, Oregon State
University, Corvallis.
[35] MINAM (2013). Diseño e implementación de un esquema de retribución por servicios
ecosistémicos hidrológicos en la cuenca del río Cañete. Ministerio del Ambiente.
Editorial Supergráfica EIRL. Lima - Perú.
[36] Mittlbôck, M., Schemper, M. (1996). Explained variation for logistic regression.
Statistics in Medicine, 15 (19): 1987-1997.
[37] Murphy, J., Stevens, T., Weatherhead, D. (2005). Is cheap talk effective at eliminating
hypothetical bias in a provision point mechanism?. Environmental and Resource
Economics, 30 (3): 327-343.
77
[38] Neill, H., Cummings, R., Ganderton, P., Harrinson, G., McGuckin, T. (1994).
Hypothetical surveys and real economic commitments. Land Economics, 70 (2):
145-154.
[39] Nelder, J., Wedderburn, R. (1972). Generalized linear models. Journal of the Royal
Statistical Society. Series A, 135 (3): 370-384.
[40] NOAA (1993). Report of the NOAA Panel on Contingent Valuation.
[41] Postigo, W. (2011). Valor económico y gestión del agua potable y alcantarillado en el
Perú: El caso de la ciudad de Lima.
[42] Ready, R.C., Navrud, S., Dubourg, W. (2001). How do respondents with uncertain
willingness to pay answer contingent valuation questions?. Land Economics, 77 (3):
315-326.
[43] Riera, J. (1994). Manual de valoración contingente. Madrid, Ministerio de Economía y
Hacienda. Instituto de Estudios Fiscales.
[44] Stevens, T., Echevarria, J., Glass, R., Hager, T., More, T. (1991). Measuring the
existence value of wildlife: what do CVM estimates really show. Land Economics, 67
(4): 390-400.
[45] Vásquez, F., Cerda, A., Orrego, S. (2007). Valoración económica del Ambiente.
Thomson Learning, Buenos Aires.
[46] Vásquez, J., Julón, G., Arias, R. (2013). Valoración económica del servicio ambiental
hidrológico en la micro cuenca Quanda.
[47] Yoo, J. W. (2011). Advances in nonmarket valuation econometrics: spatial heterogeneity
in hedonic pricing models and preference heterogeneity in stated preference models.
Ph.D. Thesis Dissertation. Penn State University.
78
Anexos
A.1. Códigos y funciones programadas en R
################################################
#Estimación de la DAP media y su error estándar#
################################################
#------------------------------------#
# Modelo 1: Modelo logit convencional#
#------------------------------------#
dap.R2=function(data){
col=length(data)
n=dim(data)[1]
names(data)[1]="y"
y=data[[1]]
model=glm(y ~ ., data=data, family=binomial(link="logit"))
betas=model$coef
m=as.matrix(data)
for(i in 1:n) m[i,1]=1
XB=m%*%betas
e=exp(1)
datar=rep(1,n)
datar=data.frame(datar)
betar<- glm(y ~ ., data=datar, family=binomial(link="logit"))$coef
logV1=0
logV0=0
for(i in 1:n){
logV1=logV1+y[i]*log(e^XB[i]/(1+e^XB[i]))+(1-y[i])*log(1/(1+e^XB[i]))
logV0=logV0+y[i]*log(e^betar[1]/(1+e^betar[1]))+(1-y[i])*log(1/(1+e^be
tar[1]))}
R2=as.vector(1-(logV1/logV0))
m_2=m[,-2]
betas_2=betas[-2]
dap=-(m_2%*%betas_2)/betas[2]
dap.mean=mean(dap)
plog=as.vector(e^XB/(1+e^XB))
threshold<-mean(fitted(model))
yest=rep(0,n)
equal=rep(0,n)
for(i in 1:n) {
if(plog[i]>threshold) yest[i]=1
if(yest[i]==y[i]) equal[i]=1}
p_predict=sum(equal)/n
tab1=table(model$y,fitted(model)>threshold)
return(list(DAP.mean=dap.mean,R2.McFadden=R2,Predict=p_predict,table=t
ab1,Model=summary(model),Coeff=model$coef))
}
#--------------------------------------#
# Modelo 2: Modelo logit con bootstrap #
#--------------------------------------#
boot.dap.R2=function(data,B,nivel=95){
names(data)[1]="y"
y=data[[1]]
alfa=1-0.01*nivel
n=dim(data)[1]
79
p=dim(data)[2]
dap.mean=dap.R2(data)$DAP.mean
R2.McF=dap.R2(data)$R2.McFadden
dapboot=rep(0,B)
coefboot=matrix(0,B,p)
R2boot=rep(0,B)
for(i in 1:B){
indices=sample(1:n,n,replace=T)
dapboot[i]=dap.R2(data[indices,])$DAP.mean
coefboot[i,]=dap.R2(data[indices,])$Coeff
R2boot[i]=dap.R2(data[indices,])$R2.McFadden
}
dap.mean.boot=mean(dapboot)
sd.dap.boot=sd(dapboot)
boot.coef=apply(coefboot,2,mean)
boot.sdcoef=apply(coefboot,2,sd)
boot.zcal=boot.coef/boot.sdcoef
boot.pvalue=rep(0,p)
for(i in 1:p){
if(boot.zcal[i]>0) boot.pvalue[i]=2*(1-pnorm(boot.zcal[i]))
else boot.pvalue[i]=2*(pnorm(boot.zcal[i]))
}
R2.mean.boot=mean(na.omit(R2boot))
sd.R2.boot=sd(na.omit(R2boot))
m=as.matrix(data)
for(i in 1:n) m[i,1]=1
XBboot=m%*%boot.coef
e=exp(1)
plog=as.vector(e^XBboot/(1+e^XBboot))
threshold<-mean(plog)
yest=rep(0,n)
equal=rep(0,n)
for(i in 1:n) {
if(plog[i]>threshold) yest[i]=1
if(yest[i]==y[i]) equal[i]=1}
p_predict=sum(equal)/n
#IC: Metodo Estandar
LI= dap.mean.boot-qnorm(1-alfa/2)*sd.dap.boot
LS= dap.mean.boot+qnorm(1-alfa/2)*sd.dap.boot
LME=c(LI,LS)
#IC: Metodo de Percentiles
LI=quantile(dapboot,alfa/2)
LS=quantile(dapboot,1-alfa/2)
LMP= c(LI,LS)
return(list(DAP.boot=dap.mean.boot, DAP.sd=sd.dap.boot, LME=LME,
p_predict=p_predict, LMP=LMP, R2.boot=R2.mean.boot, R2.sd=sd.R2.boot,
coeffb=boot.coef, coeffb.sd=boot.sdcoef,
boot.zcal=boot.zcal,boot.pvalue=boot.pvalue))
}
#-------------------------------------------------#
# Modelo 3: Modelo logit con bootstrap balanceado #
#-------------------------------------------------#
boot.dap.balance=function(data,B,nivel=95){
names(data)[1]="y"
y=data[[1]]
alfa=1-0.01*nivel
n=dim(data)[1]
p=dim(data)[2]
dap.mean=dap.R2(data)$DAP.mean
80
R2.McF=dap.R2(data)$R2.McFadden
dapboot=rep(0,B)
R2boot=rep(0,B)
coefboot=matrix(0,B,p)
id=c(1:n)
datab=cbind(id,data)
datab=data.frame(datab)
id0=sample(datab$id[datab[,2] == 0])
id1=sample(datab$id[datab[,2] == 1])
nbalance=min(length(id0),length(id1))
if(length(id0)0) boot.pvalue[i]=2*(1-pnorm(boot.zcal[i]))
else boot.pvalue[i]=2*(pnorm(boot.zcal[i]))
}
R2.mean.boot=mean(na.omit(R2boot))
sd.R2.boot=sd(na.omit(R2boot))
m=as.matrix(data)
for(i in 1:n) m[i,1]=1
yboot=y[indices]
mboot=m[indices,]
nboot=dim(mboot)[1]
XBbootb=mboot%*%boot.coef
e=exp(1)
plogb=as.vector(e^XBbootb/(1+e^XBbootb))
threshold<-mean(plogb)
yestb=rep(0,nboot)
equal=rep(0,nboot)
for(i in 1:nboot) {
if(plogb[i]>threshold) yestb[i]=1
if(yestb[i]==yboot[i]) equal[i]=1
}
p_predict_b=sum(equal)/nboot
XBboot=m%*%boot.coef
plog=as.vector(e^XBboot/(1+e^XBboot))
threshold2<-mean(plog)
yest=rep(0,n)
equal=rep(0,n)
for(i in 1:n) {
81
if(plog[i]>threshold2) yest[i]=1
if(yest[i]==y[i]) equal[i]=1}
p_predict=sum(equal)/n
#IC: Metodo Estandar
LI= dap.mean.boot-qnorm(1-alfa/2)*sd.dap.boot
LS= dap.mean.boot+qnorm(1-alfa/2)*sd.dap.boot
LME=c(LI,LS)
#IC: Metodo de Percentiles
LI=quantile(dapboot,alfa/2)
LS=quantile(dapboot,1-alfa/2)
LMP= c(LI,LS)
return(list(DAP.boot=dap.mean.boot, DAP.sd=sd.dap.boot,
p_predict=p_predict, p_predict_b=p_predict_b, LME=LME, LMP=LMP,
R2.boot=R2.mean.boot, R2.sd=sd.R2.boot, coeffb=boot.coef,
coeffb.sd=boot.sdcoef, boot.zcal=boot.zcal,boot.pvalue=boot.pvalue))
}
#--------------------------#
#Prueba de Permutación - PP#
#--------------------------#
#media (Hp: u1=u2)
pp=function(X,Y,r){
umbral=mean(X)-mean(Y)
todo=c(X,Y)
m=length(X)
n=length(Y)
N=m+n
dif=rep(0,r)
c=0
for(i in 1:r){
indice=sample(1:N,m,F)
media.n1=mean(todo[indice])
media.n2=mean(todo[-indice])
dif[i]=abs(media.n1-media.n2)
if(dif[i]>umbral) c=c+1}
prob=c/r
return(list(dif=dif,prob=prob))
}
#varianza (Hp : Var1=Var2)
pp1=function(X,Y,r){
if(var(X)>var(Y)){ A=X
B=Y}
else{ A=Y
B=X}
umbral=var(A)/var(B)
todo=c(A,B)
m=length(A)
n=length(B)
N=m+n
dif1=rep(0,r)
dif2=rep(0,r)
c=0
for(i in 1:r){
indice=sample(1:N,m,F)
var.n1=var(todo[indice])
var.n2=var(todo[-indice])
dif1[i]=var.n1/var.n2
dif2[i]=var.n2/var.n1
if(dif1[i]>umbral) c=c+1
if(dif2[i]<(1/umbral)) c=c+1
}
prob=c/r
return(list(prob))
}
82
A.2. Estimaciones utilizando los datos de Postigo (2011)
Cuadro A.2.1. Resultados del modelo logit
Variables Coeff. Std. Error z-value p -value (Pr [ >|z| ] )
BID -0.10209 0.01259 -8.109 5.11E-16 ***
Edad -0.02400 0.00926 -2.593 0.00952 **
Ingresos 0.00013 0.00005 2.471 0.01348 *
PagoServ -0.49289 0.24067 -2.048 0.04055 *
N_Adultos -0.22365 0.07422 -3.013 0.00258 **
Constante 4.13886 0.57849 7.155 8.38E-13 ***
Número de observaciones 504 DAP promedio 25.5558
Muestras bootstrap - Error estándar -
Proporción binaria (BDAP=1) 0.7123 Pseudo R2 McFadden 0.1676
Clasificación correcta 0.6925 Error estándar -
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Elaboración Propia
Cuadro A.2.2. Resultados del modelo logit con bootstrap
Variables Coeff. Std. Error z-value p -value (Pr [ >|z| ] )
BID -0.10373 0.01276 -8.129 4.33E-16 ***
Edad -0.02441 0.00959 -2.546 0.01091 *
Ingresos 0.00013 0.00005 2.402 0.01629 *
PagoServ -0.50390 0.24887 -2.025 0.04289 *
N_Adultos -0.22675 0.07663 -2.959 0.00309 **
Constante 4.20354 0.56150 7.486 7.08E-14 ***
Número de observaciones 504 DAP promedio 25.6989
Muestras bootstrap 10,000 Error estándar (1.5521)
Proporción binaria (BDAP=1) - Pseudo R2 McFadden 0.1761
Clasificación correcta 0.6944 Error estándar (0.0302)
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Elaboración Propia
83
Cuadro A.2.3. Resultados del modelo logit con bootstrap balanceado
Variables Coeff. Std. Error z-value p -value (Pr [ >|z| ] )
BID -0.10395 0.00890 -11.686 1.51E-31 ***
Edad -0.02631 0.00686 -3.836 0.00013 ***
Ingresos 0.00011 0.00003 3.607 0.00031 ***
PagoServ -0.36569 0.15096 -2.422 0.01542 *
N_Adultos -0.23945 0.05307 -4.512 0.00001 ***
Constante 3.36982 0.37623 8.957 0.00000 ***
Número de observaciones 292 DAP promedio 16.0370
Muestras bootstrap 10,000 Error estándar (0.3004)
Proporción binaria (BDAP=1) 0.5000 Pseudo R2 McFadden 0.1785
Clasificación correcta 0.6793 Error estándar (0.0208)
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Elaboración Propia
A.3. Estimaciones utilizando los datos de MINAM (2013)
Cuadro A.3.1. Resultados del modelo logit
Variables Coeff. Std. Error z-value p -value (Pr [ >|z| ] )
MONTO -0.58252 0.08376 -6.955 3.52E-12 ***
Visit.PA -0.08124 0.25131 -0.323 0.74650
Afecta.PB 0.61541 0.36067 1.706 0.08796
Calidad -0.44972 0.52914 -0.850 0.39537
Suminist 0.58853 0.25284 2.328 0.01993 *
Fuentes -0.55583 0.31645 -1.756 0.07901
Tanque 0.00724 0.37142 0.019 0.98446
Filtro 0.27897 0.49688 0.561 0.57449
Agua 0.27900 0.21732 1.284 0.19920
Benef -0.01916 0.24749 -0.077 0.93829
Edad -0.02429 0.00870 -2.794 0.00521 **
Sexo 0.32893 0.26317 1.250 0.21134
EDU (años) 0.06988 0.02971 2.352 0.01866 *
Personas -0.05235 0.05266 -0.994 0.32020
Trabajan 0.18403 0.53345 0.345 0.73011
Constante 2.81245 0.82231 3.420 0.00063 ***
Número de observaciones 470 DAP promedio 5.0460
Muestras bootstrap - Error estándar -
Proporción binaria (BDAP=1) 0.7404 Pseudo R2 McFadden 0.1629
Clasificación correcta 0.7213 Error estándar -
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Elaboración Propia
84
Cuadro A.3.2. Resultados del modelo logit con bootstrap
Variables Coeff. Std. Error z-value p -value (Pr [ >|z| ] )
MONTO -0.61567 0.09351 -6.584 4.58E-11 ***
Visit.PA -0.08053 0.27293 -0.295 0.76797
Afecta.PB 0.64641 0.38286 1.688 0.09134
Calidad -0.47964 0.59231 -0.810 0.41807
Suminist 0.63567 0.27338 2.325 0.02006 *
Fuentes -0.59761 0.33595 -1.779 0.07526
Tanque 0.02274 0.39257 0.058 0.95380
Filtro 0.33194 0.69829 0.475 0.63453
Agua 0.39030 0.48418 0.806 0.42018
Benef -0.02084 0.26705 -0.078 0.93780
Edad -0.02546 0.00973 -2.618 0.00884 **
Sexo 0.36302 0.27635 1.314 0.18898
EDU (años) 0.07403 0.03521 2.103 0.03550 *
Personas -0.05252 0.06516 -0.806 0.42019
Trabajan 0.21630 0.61480 0.352 0.72497
Constante 2.91800 0.94182 3.098 0.00195 **
Número de observaciones 470 DAP promedio 5.1039
Muestras bootstrap 10,000 Error estándar (0.3914)
Proporción binaria (BDAP=1) - Pseudo R2 McFadden 0.1940
Clasificación correcta 0.7213 Error estándar (0.0338)
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Elaboración Propia
85
Cuadro A.3.3. Resultados del modelo logit con bootstrap balanceado
Variables Coeff. Std. Error z-value p -value (Pr [ >|z| ] )
MONTO -0.62726 0.07101 -8.833 1.02E-18 ***
Visit.PA -0.14054 0.19182 -0.733 0.46378
Afecta.PB 0.67926 0.31847 2.133 0.03293 *
Calidad -0.42365 0.46510 -0.911 0.36236
Suminist 0.65126 0.19029 3.422 0.00062 ***
Fuentes -0.59908 0.23742 -2.523 0.01163 *
Tanque 0.01973 0.29325 0.067 0.94637
Filtro 0.22396 0.42187 0.531 0.59551
Agua 0.19816 0.15091 1.313 0.18916
Benef 0.03445 0.19178 0.180 0.85743
Edad -0.02835 0.00712 -3.979 0.00007 ***
Sexo 0.32199 0.20180 1.596 0.11058
EDU (años) 0.07229 0.02497 2.896 0.00378 **
Personas -0.09069 0.04534 -2.000 0.04550 *
Trabajan 0.09056 0.40186 0.225 0.82170
Constante 2.20402 0.67961 3.243 0.00118 **
Número de observaciones 244 DAP promedio 3.0751
Muestras bootstrap 10,000 Error estándar (0.0597)
Proporción binaria (BDAP=1) 0.5000 Pseudo R2 McFadden 0.1953
Clasificación correcta 0.7254 Error estándar (0.0274)
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Elaboración Propia
A.4. Estimaciones utilizando los datos de Vásquez et al (2013)
Cuadro A.4.1. Resultados del modelo logit
Variables Coeff. Std. Error z-value p -value (Pr [ >|z| ] )
MONTO -0.21371 0.03812 -5.607 2.06E-08 ***
SEXO -0.55745 0.69991 -0.796 0.4258
EDUC 0.19878 0.17171 1.158 0.2470
IM -0.35646 0.59625 -0.598 0.5500
Constante 4.25772 1.82905 2.328 0.0199 *
Número de observaciones 120 DAP promedio 18.0043
Muestras bootstrap - Error estándar -
Proporción binaria (BDAP=1) 0.658 Pseudo R2 McFadden 0.3507
Clasificación correcta 0.7583 Error estándar -
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Elaboración Propia
86
Cuadro A.4.2. Resultados del modelo logit con bootstrap
Variables Coeff. Std. Error z-value p -value (Pr [ >|z| ] )
MONTO -0.22802 0.04373 -5.214 1.85E-07 ***
SEXO -0.58467 0.76946 -0.760 0.4473
EDUC 0.21990 0.18300 1.202 0.2295
IM -0.43929 0.63610 -0.691 0.4898
Constante 4.67508 1.98491 2.355 0.0185 *
Número de observaciones 120 DAP promedio 18.0595
Muestras bootstrap 10,000 Error estándar (1.3506)
Proporción binaria (BDAP=1) - Pseudo R2 McFadden 0.3773
Clasificación correcta 0.7583 Error estándar (0.0792)
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Elaboración Propia
Cuadro A.4.3. Resultados del modelo logit con bootstrap balanceado
Variables Coeff. Std. Error z-value p -value (Pr [ >|z| ] )
MONTO -0.21460 0.02250 -9.519 1.74E-21 ***
SEXO -0.54930 0.44920 -1.223 0.22145
EDUC 0.21130 0.09290 2.274 0.02296 *
IM -0.48760 0.33750 -1.445 0.14855
Constante 3.89050 1.08090 3.599 3.19E-04 ***
Número de observaciones 82 DAP promedio 14.7757
Muestras bootstrap 10,000 Error estándar (0.4567)
Proporción binaria (BDAP=1) 0.50 Pseudo R2 McFadden 0.3615
Clasificación correcta 0.7927 Error estándar (0.0435)
Signif. codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
Elaboración Propia
87